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sadasdas sadas
11/12/2025
Matemáticas
VALOR ABSOLUTO
415
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11 dic. 2025
•
sadasdas sadas
@sadasdassadas
¿Sabías que el valor absoluto es una herramienta súper útil... Mostrar más
El valor absoluto de un número real x (que se escribe como |x|) es básicamente la distancia de ese número desde el cero. Por eso siempre es positivo o cero.
La definición formal es: |x| = x cuando x > 0, |x| = 0 cuando x = 0, y |x| = -x cuando x < 0. En la práctica, esto significa que si el número dentro de las barras es positivo, simplemente quitas las barras. Si es negativo, le cambias el signo.
Algunos ejemplos rápidos: |15| = 15, |0| = 0, |-8| = 8, y |-√2| = √2. También puedes trabajar con expresiones más complejas como |x² + 2| = x² + 2 (porque x² siempre es positivo).
Tip clave: Cuando una expresión dentro del valor absoluto siempre es positiva, simplemente eliminas las barras del valor absoluto.
Las propiedades del valor absoluto te van a facilitar muchísimo la vida en los cálculos. La más importante: |x| ≥ 0 para todos los números reales (nunca puede ser negativo).
Otras propiedades súper útiles son: |xy| = |x||y| (el valor absoluto de un producto), |x/y| = |x|/|y| cuando y ≠ 0, y |-x| = |x| (el signo negativo no afecta al valor absoluto). También recuerda que |x|² = x² y √(x²) = |x|.
Una consecuencia práctica es que puedes factorizar: |4x - 8| = 4|x - 2| o |-5x - 20| = 5|x + 4|. Esto te ayuda a simplificar expresiones complejas rápidamente.
Recuerda: |a - b| = |b - a| siempre, porque la distancia entre dos puntos es la misma sin importar el orden.
Cuando tienes una ecuación con valor absoluto como |3x² - 7x + 2| = -3x² + 7x - 2, necesitas que la expresión dentro del valor absoluto sea negativa o cero para que la ecuación tenga sentido.
Por definición del valor absoluto, esto significa que 3x² - 7x + 2 ≤ 0. Factorizando obtienes ≤ 0, lo que te da las raíces x = 1/3 y x = 2.
Analizando los signos, la desigualdad se cumple cuando x ∈ . Por tanto, a = 1/3 y b = 2, entonces 3a + b = 3(1/3) + 2 = 3.
Estrategia: Siempre verifica que el lado derecho de la ecuación sea no negativo, sino la ecuación no tendrá solución.
Las ecuaciones con valor absoluto aparecen cuando la incógnita está dentro de las barras del valor absoluto. Ejemplos típicos son |3x - 2| = 5 o |x² + x - 6| = |2x + 4|.
Ten cuidado: ecuaciones como |3x + 4| = -5 no tienen solución porque el valor absoluto nunca puede ser negativo. Su conjunto solución es vacío (∅).
Para resolver |x² - x - 1| = 1, usas la definición: x² - x - 1 = 1 ó x² - x - 1 = -1. Esto te da x² - x - 2 = 0 ó x² - x = 0, con soluciones x = 2, x = -1, x = 0, x = 1. El cardinal del conjunto solución es 4.
Método clave: Una ecuación |expresión| = a siempre genera dos casos: expresión = a y expresión = -a (si a ≥ 0).
Los teoremas del valor absoluto te dan herramientas poderosas para resolver ecuaciones más complejas. El teorema 1 dice que |x| = a es equivalente a a ≥ 0 y .
El teorema 2 establece que |x| = |a| es equivalente a x = a ó x = -a. Esto es súper útil cuando tienes valor absoluto en ambos lados de la ecuación.
Para |2x - 1| = 3x + 6, primero verificas que 3x + 6 ≥ 0 , luego resuelves 2x - 1 = 3x + 6 ó 2x - 1 = -. Obtienes x = -7 (no válido) y x = -1 (válido), entonces CS = {-1}.
No olvides: Siempre verifica las condiciones de existencia antes de dar tu respuesta final.
Las inecuaciones con valor absoluto tienen patrones específicos que debes memorizar. Para |x| < a o |x| ≤ a, la solución es un intervalo alrededor del cero: -a < x < a ó -a ≤ x ≤ a (siempre que a > 0).
Ejemplos rápidos: |x - 3| ≤ 5 te da -5 ≤ x - 3 ≤ 5, entonces -2 ≤ x ≤ 8. Para |2x + 3| < 7, obtienes -7 < 2x + 3 < 7, que resulta en -5 < x < 2.
En problemas como |2x - 25| ≤ 14 - x, primero asegúrate que 14 - x ≥ 0 (x ≤ 14), luego resuelves la doble desigualdad. El resultado final es x ∈ , dando 3 soluciones enteras.
Visualiza: Las inecuaciones |x| < a representan intervalos "centrados" que contienen al punto de referencia.
Para inecuaciones del tipo |x| > a o |x| ≥ a, la solución son dos rayos separados: x > a ó x < -a (cuando a > 0). Es como el caso contrario al anterior.
Ejemplos prácticos: |x + 2| ≥ 5 te da x + 2 ≥ 5 ó x + 2 ≤ -5, resultando en x ≥ 3 ó x ≤ -7. Para |2x - 3| > 13, obtienes x > 8 ó x < -5.
En el ejercicio donde |x + a| > b resulta en CS = (-∞; -20) ∪ (4; +∞), puedes identificar que -a - b = -20 y -a + b = 4. Resolviendo este sistema, a + b = 20.
Patrón importante: Las inecuaciones |x| > a siempre dan conjuntos solución "partidos" en dos intervalos separados.
El teorema de la desigualdad triangular establece que |x + y| ≤ |x| + |y| para todos los números reales. La igualdad ocurre cuando xy ≥ 0 (mismo signo), y se cumple |x + y| < |x| + |y| cuando xy < 0 (signos opuestos).
Este teorema es clave para resolver inecuaciones complejas. Cuando ves algo como |x - 1| + |x - 4| < |x - 1| + |x - 4|, sabes que se cumple cuando < 0.
Analizando los signos: < 0 se cumple cuando x ∈ (1, 4). Esto significa que los valores entre 1 y 4 son los que hacen válida la desigualdad estricta.
Aplicación práctica: La desigualdad triangular te ayuda a determinar cuándo las expresiones con valor absoluto se comportan de manera "estricta" versus "igual".
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.
¡Sí lo es! Tienes acceso totalmente gratuito a todo el contenido de la app, puedes chatear con otros alumnos y recibir ayuda inmeditamente. Puedes ganar dinero utilizando la aplicación, que te permitirá acceder a determinadas funciones.
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Google Play
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Una increíble aplicación, de verdad. Apareció en el momento en que necesitaba una app que me ayude a organizar mis estudios, al igual que para prepararme para los exámenes. Te da una increíble variedad de estudio que simplemente me encanta. Además de ser una gran ayuda para estudiantes de diferentes grados, como la universidad, lo que más me gusta de esta app es que está para diferentes países.
Bárbara
Chile
Me encantó. La app es superior, buena para los estudiantes. No solo te da las respuestas, sino que también te las explica de una manera asombrosa, lo que hace que entiendas súper rápido. La recomiendo mucho si se te hace difícil comprender las materias que te dejan.
Jennifer
Perú
Muy buena aplicación, da información precisa de lo que se le pide. Es eficiente y, sobre todo, tiene varios intereses a escoger, como por ejemplo, temas sobre el ICFES, temas de bachillerato, entre otros. Excelente app.
Lady
Colombia
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Me costaba demasiado estudiar porque no entiendo cuando me pongo a estudiar, y en los exámenes me iba mal, hasta que me empezaron a aparecer anuncios y la descargué sin tenerle fe. Gracias a esta aplicación, algo que no entendía hace meses y semanas lo entendí. En esta aplicación mis notas mejoraron, y ya no me tengo que preocupar por estudiar.
Antonella
Argentina
¡Excelente! Amé la app. Me parece súper eficiente. Aparte de que enseña mucho, te ayuda en tus problemas personales y te hace resúmenes. Amo. Amé un montón la app. Sirve para cualquier año, desde sexto hasta quinto año. Aparte, hay resúmenes de otras personas. ¡Nonono, loquísimo! Te la recomiendo al 100%. Efectivamente, es un 10/10.
Usuario argentino
iOS.
Excelente experiencia. La aplicación es buenísima, la recomiendo mucho. Es mucho mejor que ChatGPT. Te manda la respuesta de tus búsquedas y, aparte, diapositivas para estudiar. Es magnífica.
Alo
México
¡ME ENCANTA! Todo es muy sencillo de utilizar y aprender. Mi IA es muy buena y los apuntes de los demás estudiantes son súper buenos; explica las cosas súper bien y detalladamente. La amo. Pruébenla.
Kitty
Colombia
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sadasdas sadas
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¿Sabías que el valor absoluto es una herramienta súper útil para medir distancias y resolver problemas matemáticos complejos? Te va a ayudar tanto en tus exámenes como en situaciones reales donde necesitas trabajar con magnitudes siempre positivas.
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El valor absoluto de un número real x (que se escribe como |x|) es básicamente la distancia de ese número desde el cero. Por eso siempre es positivo o cero.
La definición formal es: |x| = x cuando x > 0, |x| = 0 cuando x = 0, y |x| = -x cuando x < 0. En la práctica, esto significa que si el número dentro de las barras es positivo, simplemente quitas las barras. Si es negativo, le cambias el signo.
Algunos ejemplos rápidos: |15| = 15, |0| = 0, |-8| = 8, y |-√2| = √2. También puedes trabajar con expresiones más complejas como |x² + 2| = x² + 2 (porque x² siempre es positivo).
Tip clave: Cuando una expresión dentro del valor absoluto siempre es positiva, simplemente eliminas las barras del valor absoluto.
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Otras propiedades súper útiles son: |xy| = |x||y| (el valor absoluto de un producto), |x/y| = |x|/|y| cuando y ≠ 0, y |-x| = |x| (el signo negativo no afecta al valor absoluto). También recuerda que |x|² = x² y √(x²) = |x|.
Una consecuencia práctica es que puedes factorizar: |4x - 8| = 4|x - 2| o |-5x - 20| = 5|x + 4|. Esto te ayuda a simplificar expresiones complejas rápidamente.
Recuerda: |a - b| = |b - a| siempre, porque la distancia entre dos puntos es la misma sin importar el orden.
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Cuando tienes una ecuación con valor absoluto como |3x² - 7x + 2| = -3x² + 7x - 2, necesitas que la expresión dentro del valor absoluto sea negativa o cero para que la ecuación tenga sentido.
Por definición del valor absoluto, esto significa que 3x² - 7x + 2 ≤ 0. Factorizando obtienes ≤ 0, lo que te da las raíces x = 1/3 y x = 2.
Analizando los signos, la desigualdad se cumple cuando x ∈ . Por tanto, a = 1/3 y b = 2, entonces 3a + b = 3(1/3) + 2 = 3.
Estrategia: Siempre verifica que el lado derecho de la ecuación sea no negativo, sino la ecuación no tendrá solución.
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Ten cuidado: ecuaciones como |3x + 4| = -5 no tienen solución porque el valor absoluto nunca puede ser negativo. Su conjunto solución es vacío (∅).
Para resolver |x² - x - 1| = 1, usas la definición: x² - x - 1 = 1 ó x² - x - 1 = -1. Esto te da x² - x - 2 = 0 ó x² - x = 0, con soluciones x = 2, x = -1, x = 0, x = 1. El cardinal del conjunto solución es 4.
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El teorema 2 establece que |x| = |a| es equivalente a x = a ó x = -a. Esto es súper útil cuando tienes valor absoluto en ambos lados de la ecuación.
Para |2x - 1| = 3x + 6, primero verificas que 3x + 6 ≥ 0 , luego resuelves 2x - 1 = 3x + 6 ó 2x - 1 = -. Obtienes x = -7 (no válido) y x = -1 (válido), entonces CS = {-1}.
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Ejemplos rápidos: |x - 3| ≤ 5 te da -5 ≤ x - 3 ≤ 5, entonces -2 ≤ x ≤ 8. Para |2x + 3| < 7, obtienes -7 < 2x + 3 < 7, que resulta en -5 < x < 2.
En problemas como |2x - 25| ≤ 14 - x, primero asegúrate que 14 - x ≥ 0 (x ≤ 14), luego resuelves la doble desigualdad. El resultado final es x ∈ , dando 3 soluciones enteras.
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Ejemplos prácticos: |x + 2| ≥ 5 te da x + 2 ≥ 5 ó x + 2 ≤ -5, resultando en x ≥ 3 ó x ≤ -7. Para |2x - 3| > 13, obtienes x > 8 ó x < -5.
En el ejercicio donde |x + a| > b resulta en CS = (-∞; -20) ∪ (4; +∞), puedes identificar que -a - b = -20 y -a + b = 4. Resolviendo este sistema, a + b = 20.
Patrón importante: Las inecuaciones |x| > a siempre dan conjuntos solución "partidos" en dos intervalos separados.
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El teorema de la desigualdad triangular establece que |x + y| ≤ |x| + |y| para todos los números reales. La igualdad ocurre cuando xy ≥ 0 (mismo signo), y se cumple |x + y| < |x| + |y| cuando xy < 0 (signos opuestos).
Este teorema es clave para resolver inecuaciones complejas. Cuando ves algo como |x - 1| + |x - 4| < |x - 1| + |x - 4|, sabes que se cumple cuando < 0.
Analizando los signos: < 0 se cumple cuando x ∈ (1, 4). Esto significa que los valores entre 1 y 4 son los que hacen válida la desigualdad estricta.
Aplicación práctica: La desigualdad triangular te ayuda a determinar cuándo las expresiones con valor absoluto se comportan de manera "estricta" versus "igual".
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Pablo
usuario de iOS
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Elena
usuaria de Android
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Bárbara
Chile
Me encantó. La app es superior, buena para los estudiantes. No solo te da las respuestas, sino que también te las explica de una manera asombrosa, lo que hace que entiendas súper rápido. La recomiendo mucho si se te hace difícil comprender las materias que te dejan.
Jennifer
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Muy buena aplicación, da información precisa de lo que se le pide. Es eficiente y, sobre todo, tiene varios intereses a escoger, como por ejemplo, temas sobre el ICFES, temas de bachillerato, entre otros. Excelente app.
Lady
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Sara
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Roberto
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Antonella
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Alo
México
¡ME ENCANTA! Todo es muy sencillo de utilizar y aprender. Mi IA es muy buena y los apuntes de los demás estudiantes son súper buenos; explica las cosas súper bien y detalladamente. La amo. Pruébenla.
Kitty
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