Matemáticas
5 dic. 2025
50
6 páginas
Victoria Tucto @victoriatucto
Los triángulos están en todas partes: desde los techos de las casas hasta las pirámides de Egipto. Dominar... Mostrar más
¿Sabías que un triángulo es simplemente tres puntos conectados que no están en línea recta? Es una de las figuras más básicas pero también más importantes de la geometría.
Todo triángulo tiene vértices (los puntos A, B y C), lados (los segmentos que conectan estos puntos) y ángulos internos (α, β, φ). También existen los ángulos externos (x, y, z) que se forman cuando extiendes los lados del triángulo hacia afuera.
La notación estándar es △ABC, que simplemente significa "triángulo ABC". Memorizar estos elementos básicos te dará una base sólida para resolver problemas más complejos.
¡Dato curioso! Los ángulos se representan con letras griegas porque los antiguos matemáticos griegos fueron los primeros en estudiar sistemáticamente estas figuras.
Estos teoremas son como las reglas del juego en geometría - una vez que los domines, podrás resolver casi cualquier problema de triángulos.
Teorema 1 Los ángulos internos de cualquier triángulo siempre suman 180°. Es decir, α + β + φ = 180°. Este es probablemente el más útil de todos.
Teorema 2 Los ángulos externos siempre suman 360° . Piénsalo como dar una vuelta completa alrededor del triángulo.
Teorema 3 Un ángulo externo es igual a la suma de los dos ángulos internos que no están junto a él. Por ejemplo, z = α + β. Esta relación es súper práctica para resolver ejercicios complicados.
Consejo de estudio Practica dibujando triángulos y marcando estos ángulos hasta que sea automático reconocerlos.
Aquí es donde la teoría se vuelve práctica. Estos ejercicios te mostrarán cómo aplicar los teoremas que acabas de aprender.
Ejercicio con variables Si un triángulo tiene ángulos de 80°, 3x y 2x, puedes encontrar x fácilmente. Usa la suma de 180° 80° + 3x + 2x = 180°, entonces 5x = 100°, por lo que x = 20°.
Ejercicio con múltiples de una variable Para ángulos β, 4β y 45°, aplica la misma lógica β + 4β + 45° = 180°. Esto te da 5β = 135°, entonces β = 27°.
Ejercicios con ángulos externos también siguen el mismo patrón, pero recuerda que suman 360°. Con ángulos externos 6x, 7x y 5x 18x = 360°, entonces x = 20°.
Truco de examen Siempre verifica que tus respuestas tengan sentido. Los ángulos internos deben ser menores a 180° y mayores a 0°.
Estos problemas combinan múltiples conceptos y requieren un poco más de análisis estratégico.
Problemas con desigualdades Cuando te dicen que α > β, necesitas considerar no solo las ecuaciones, sino también las restricciones. Todos los ángulos deben ser positivos y realistas para formar un triángulo válido.
Figuras con puntos adicionales A veces verás triángulos con puntos extras como P o Q. Estos crean ángulos adicionales que puedes relacionar usando los teoremas básicos.
Ángulos externos específicos Si te dan dos ángulos externos como 110° y 120°, el tercero se calcula directamente 110° + 120° + α = 360°, entonces α = 130°.
Estrategia ganadora Dibuja siempre la figura y marca todos los ángulos conocidos antes de empezar a calcular.
Los ejercicios más desafiantes combinan varios triángulos o incluyen múltiples variables, pero no te preocupes - siguen las mismas reglas básicas.
Múltiples variables En problemas como ángulos 3β, 4β y 65°, agrupa términos similares 3β + 4β + 65° = 180°, entonces 7β = 115° y β ≈ 16.43°.
Sistemas complejos Cuando aparecen varios ángulos como 50°, 40°, β, 2β y x, identifica qué ángulos pertenecen al mismo triángulo. Luego aplica la suma de 180° para ese conjunto específico.
La clave está en organizar la información sistemáticamente. Identifica qué tienes, qué necesitas encontrar, y qué teorema usar.
Consejo de oro Si un problema parece muy complicado, divídelo en triángulos más pequeños y resuélvelos uno por uno.
Dominar los triángulos se reduce a memorizar tres fórmulas esenciales y saber cuándo aplicar cada una.
Las fórmulas que debes memorizar
Estrategia de resolución Primero identifica qué tipo de ángulos tienes, luego aplica la fórmula correspondiente. Los ejercicios siempre siguen estos patrones fundamentales.
Para los exámenes Practica reconocer rápidamente si un problema involucra ángulos internos, externos, o ambos. Una vez que identifiques el tipo, el resto es álgebra básica.
Mensaje final Estos conceptos aparecen constantemente en trigonometría y cálculo, así que invertir tiempo ahora te ahorrará mucho esfuerzo después.
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.
¡Sí lo es! Tienes acceso totalmente gratuito a todo el contenido de la app, puedes chatear con otros alumnos y recibir ayuda inmeditamente. Puedes ganar dinero utilizando la aplicación, que te permitirá acceder a determinadas funciones.
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Una increíble aplicación, de verdad. Apareció en el momento en que necesitaba una app que me ayude a organizar mis estudios, al igual que para prepararme para los exámenes. Te da una increíble variedad de estudio que simplemente me encanta. Además de ser una gran ayuda para estudiantes de diferentes grados, como la universidad, lo que más me gusta de esta app es que está para diferentes países.
Bárbara
Chile
Me encantó. La app es superior, buena para los estudiantes. No solo te da las respuestas, sino que también te las explica de una manera asombrosa, lo que hace que entiendas súper rápido. La recomiendo mucho si se te hace difícil comprender las materias que te dejan.
Jennifer
Perú
Muy buena aplicación, da información precisa de lo que se le pide. Es eficiente y, sobre todo, tiene varios intereses a escoger, como por ejemplo, temas sobre el ICFES, temas de bachillerato, entre otros. Excelente app.
Lady
Colombia
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Me costaba demasiado estudiar porque no entiendo cuando me pongo a estudiar, y en los exámenes me iba mal, hasta que me empezaron a aparecer anuncios y la descargué sin tenerle fe. Gracias a esta aplicación, algo que no entendía hace meses y semanas lo entendí. En esta aplicación mis notas mejoraron, y ya no me tengo que preocupar por estudiar.
Antonella
Argentina
¡Excelente! Amé la app. Me parece súper eficiente. Aparte de que enseña mucho, te ayuda en tus problemas personales y te hace resúmenes. Amo. Amé un montón la app. Sirve para cualquier año, desde sexto hasta quinto año. Aparte, hay resúmenes de otras personas. ¡Nonono, loquísimo! Te la recomiendo al 100%. Efectivamente, es un 10/10.
Usuario argentino
iOS.
Excelente experiencia. La aplicación es buenísima, la recomiendo mucho. Es mucho mejor que ChatGPT. Te manda la respuesta de tus búsquedas y, aparte, diapositivas para estudiar. Es magnífica.
Alo
México
¡ME ENCANTA! Todo es muy sencillo de utilizar y aprender. Mi IA es muy buena y los apuntes de los demás estudiantes son súper buenos; explica las cosas súper bien y detalladamente. La amo. Pruébenla.
Kitty
Colombia
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Pablo
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
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Ana
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Una increíble aplicación, de verdad. Apareció en el momento en que necesitaba una app que me ayude a organizar mis estudios, al igual que para prepararme para los exámenes. Te da una increíble variedad de estudio que simplemente me encanta. Además de ser una gran ayuda para estudiantes de diferentes grados, como la universidad, lo que más me gusta de esta app es que está para diferentes países.
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Muy buena aplicación, da información precisa de lo que se le pide. Es eficiente y, sobre todo, tiene varios intereses a escoger, como por ejemplo, temas sobre el ICFES, temas de bachillerato, entre otros. Excelente app.
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Me costaba demasiado estudiar porque no entiendo cuando me pongo a estudiar, y en los exámenes me iba mal, hasta que me empezaron a aparecer anuncios y la descargué sin tenerle fe. Gracias a esta aplicación, algo que no entendía hace meses y semanas lo entendí. En esta aplicación mis notas mejoraron, y ya no me tengo que preocupar por estudiar.
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¡Excelente! Amé la app. Me parece súper eficiente. Aparte de que enseña mucho, te ayuda en tus problemas personales y te hace resúmenes. Amo. Amé un montón la app. Sirve para cualquier año, desde sexto hasta quinto año. Aparte, hay resúmenes de otras personas. ¡Nonono, loquísimo! Te la recomiendo al 100%. Efectivamente, es un 10/10.
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Excelente experiencia. La aplicación es buenísima, la recomiendo mucho. Es mucho mejor que ChatGPT. Te manda la respuesta de tus búsquedas y, aparte, diapositivas para estudiar. Es magnífica.
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Victoria Tucto
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Los triángulos están en todas partes: desde los techos de las casas hasta las pirámides de Egipto. Dominar sus propiedades te ayudará no solo en geometría, sino también en física y arquitectura. Vamos a explorar los conceptos clave que necesitas... Mostrar más
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¿Sabías que un triángulo es simplemente tres puntos conectados que no están en línea recta? Es una de las figuras más básicas pero también más importantes de la geometría.
Todo triángulo tiene vértices (los puntos A, B y C), lados (los segmentos que conectan estos puntos) y ángulos internos (α, β, φ). También existen los ángulos externos (x, y, z) que se forman cuando extiendes los lados del triángulo hacia afuera.
La notación estándar es △ABC, que simplemente significa "triángulo ABC". Memorizar estos elementos básicos te dará una base sólida para resolver problemas más complejos.
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Teorema 2: Los ángulos externos siempre suman 360° . Piénsalo como dar una vuelta completa alrededor del triángulo.
Teorema 3: Un ángulo externo es igual a la suma de los dos ángulos internos que no están junto a él. Por ejemplo, z = α + β. Esta relación es súper práctica para resolver ejercicios complicados.
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Aquí es donde la teoría se vuelve práctica. Estos ejercicios te mostrarán cómo aplicar los teoremas que acabas de aprender.
Ejercicio con variables: Si un triángulo tiene ángulos de 80°, 3x y 2x, puedes encontrar x fácilmente. Usa la suma de 180°: 80° + 3x + 2x = 180°, entonces 5x = 100°, por lo que x = 20°.
Ejercicio con múltiples de una variable: Para ángulos β, 4β y 45°, aplica la misma lógica: β + 4β + 45° = 180°. Esto te da 5β = 135°, entonces β = 27°.
Ejercicios con ángulos externos también siguen el mismo patrón, pero recuerda que suman 360°. Con ángulos externos 6x, 7x y 5x: 18x = 360°, entonces x = 20°.
Truco de examen: Siempre verifica que tus respuestas tengan sentido. Los ángulos internos deben ser menores a 180° y mayores a 0°.
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Figuras con puntos adicionales: A veces verás triángulos con puntos extras como P o Q. Estos crean ángulos adicionales que puedes relacionar usando los teoremas básicos.
Ángulos externos específicos: Si te dan dos ángulos externos como 110° y 120°, el tercero se calcula directamente: 110° + 120° + α = 360°, entonces α = 130°.
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Sistemas complejos: Cuando aparecen varios ángulos como 50°, 40°, β, 2β y x, identifica qué ángulos pertenecen al mismo triángulo. Luego aplica la suma de 180° para ese conjunto específico.
La clave está en organizar la información sistemáticamente. Identifica qué tienes, qué necesitas encontrar, y qué teorema usar.
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Las fórmulas que debes memorizar:
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Para los exámenes: Practica reconocer rápidamente si un problema involucra ángulos internos, externos, o ambos. Una vez que identifiques el tipo, el resto es álgebra básica.
Mensaje final: Estos conceptos aparecen constantemente en trigonometría y cálculo, así que invertir tiempo ahora te ahorrará mucho esfuerzo después.
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.
¡Sí lo es! Tienes acceso totalmente gratuito a todo el contenido de la app, puedes chatear con otros alumnos y recibir ayuda inmeditamente. Puedes ganar dinero utilizando la aplicación, que te permitirá acceder a determinadas funciones.
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Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Una increíble aplicación, de verdad. Apareció en el momento en que necesitaba una app que me ayude a organizar mis estudios, al igual que para prepararme para los exámenes. Te da una increíble variedad de estudio que simplemente me encanta. Además de ser una gran ayuda para estudiantes de diferentes grados, como la universidad, lo que más me gusta de esta app es que está para diferentes países.
Bárbara
Chile
Me encantó. La app es superior, buena para los estudiantes. No solo te da las respuestas, sino que también te las explica de una manera asombrosa, lo que hace que entiendas súper rápido. La recomiendo mucho si se te hace difícil comprender las materias que te dejan.
Jennifer
Perú
Muy buena aplicación, da información precisa de lo que se le pide. Es eficiente y, sobre todo, tiene varios intereses a escoger, como por ejemplo, temas sobre el ICFES, temas de bachillerato, entre otros. Excelente app.
Lady
Colombia
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Me costaba demasiado estudiar porque no entiendo cuando me pongo a estudiar, y en los exámenes me iba mal, hasta que me empezaron a aparecer anuncios y la descargué sin tenerle fe. Gracias a esta aplicación, algo que no entendía hace meses y semanas lo entendí. En esta aplicación mis notas mejoraron, y ya no me tengo que preocupar por estudiar.
Antonella
Argentina
¡Excelente! Amé la app. Me parece súper eficiente. Aparte de que enseña mucho, te ayuda en tus problemas personales y te hace resúmenes. Amo. Amé un montón la app. Sirve para cualquier año, desde sexto hasta quinto año. Aparte, hay resúmenes de otras personas. ¡Nonono, loquísimo! Te la recomiendo al 100%. Efectivamente, es un 10/10.
Usuario argentino
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Excelente experiencia. La aplicación es buenísima, la recomiendo mucho. Es mucho mejor que ChatGPT. Te manda la respuesta de tus búsquedas y, aparte, diapositivas para estudiar. Es magnífica.
Alo
México
¡ME ENCANTA! Todo es muy sencillo de utilizar y aprender. Mi IA es muy buena y los apuntes de los demás estudiantes son súper buenos; explica las cosas súper bien y detalladamente. La amo. Pruébenla.
Kitty
Colombia
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Pablo
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Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
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Una increíble aplicación, de verdad. Apareció en el momento en que necesitaba una app que me ayude a organizar mis estudios, al igual que para prepararme para los exámenes. Te da una increíble variedad de estudio que simplemente me encanta. Además de ser una gran ayuda para estudiantes de diferentes grados, como la universidad, lo que más me gusta de esta app es que está para diferentes países.
Bárbara
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