Matemáticas
10 dic. 2025
184
21 páginas
sadasdas sadas @sadasdassadas
La divisibilidad y multiplicidad son conceptos fundamentales en matemáticas que te ayudarán a entender cómo los números se... Mostrar más
¿Sabías que entender la relación entre números puede ser más fácil de lo que parece? La divisibilidad ocurre cuando un número puede dividirse exactamente entre otro sin dejar residuo.
Por ejemplo, 35 es divisible por 7 porque 35 = 7 × 5. En este caso, también decimos que 35 es múltiplo de 7 y que 7 es divisor de 35. Es como tener dos formas diferentes de expresar la misma relación matemática.
Para cualquier número N, podemos escribir sus múltiplos como N = nk, donde k es un número entero. Los múltiplos de un número son infinitos y siempre incluyen el cero como múltiplo especial.
¡Dato importante! El cero es múltiplo de cualquier número entero positivo, y la cantidad de múltiplos de cualquier número es ilimitada.
Contar múltiplos dentro de un rango es una habilidad súper útil que aparece frecuentemente en exámenes. Para números de 2 cifras que son múltiplos de 6, simplemente aplicamos la fórmula práctica.
Los números de 2 cifras van del 10 al 99, lo que nos da un total de 90 números. Para encontrar cuántos son múltiplos de 6, dividimos 90 ÷ 6 = 15 números.
Los múltiplos de 6 entre 10 y 99 son 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96. Como ves, efectivamente son 15 números.
Tip de estudio Para cualquier rango de números, la cantidad de múltiplos se calcula dividiendo la cantidad total de números entre el módulo.
Los números de 3 cifras (del 100 al 999) nos dan 900 números en total. Para encontrar cuántos son múltiplos de 7, usamos una técnica ligeramente diferente.
Planteamos la desigualdad 100 < 7k < 1000. Dividiendo entre 7 14.2 < k < 142.8. Como k debe ser entero, tomamos k desde 15 hasta 142.
Esto nos da 142 - 15 + 1 = 128 números de 3 cifras que son múltiplos de 7. El primer múltiplo de 7 de 3 cifras es 105 (7×15) y el último es 994 (7×142).
Truco matemático Cuando trabajas con desigualdades, siempre redondea hacia arriba el límite inferior y hacia abajo el límite superior.
Los problemas que combinan diferentes múltiplos requieren usar el principio de inclusión-exclusión, pero no te preocupes, es más sencillo de lo que suena.
Para números de 3 cifras múltiplos de 6 o 9 (pero no ambos) primero calculamos los múltiplos de cada uno por separado. Múltiplos de 6 900÷6 = 150 números. Múltiplos de 9 900÷9 = 100 números.
Los números que son múltiplos de ambos (6 y 9) son múltiplos de 18 900÷18 = 50 números. Para encontrar los que son múltiplos de uno pero no del otro, sumamos las diferencias (150-50) + (100-50) = 150 números.
Estrategia clave Cuando tengas condiciones "o" pero "no ambos", calcula cada grupo por separado y resta las intersecciones.
No todos los números son múltiplos perfectos, y ahí es donde entran los residuos. Cuando divides 54 entre 13, obtienes 4 como cociente y 2 como residuo 54 = 13×4 + 2.
También existe la división por exceso 54 = 13×5 - 11, donde 11 es el residuo por exceso. Dato importante residuo por defecto + residuo por exceso = módulo (2 + 11 = 13).
Para resolver problemas como "números de 3 cifras terminados en 7 que dejan residuo 5 al dividirse entre 12", escribimos ab7 = 12k + 5. Esto significa ab2 = 12k, y aplicamos el rango 102 ≤ 12k ≤ 992.
Técnica de resolución Siempre convierte el problema a la forma más simple posible antes de aplicar los límites del rango.
Las operaciones con múltiplos siguen reglas específicas que simplifican enormemente los cálculos. Si varios números son múltiplos del mismo módulo, su suma o resta también será múltiplo de ese módulo.
Para la multiplicación = n̄ + a×b, donde n̄ representa un múltiplo de n. Por ejemplo (8̄ + 3)(8̄ + 2) = 8̄ + 6.
En potenciación, si un número es múltiplo de n, cualquier potencia de ese número también será múltiplo de n (n̄)^k = n̄. Estos principios te ahorrarán mucho tiempo en cálculos complejos.
Regla de oro Las operaciones entre múltiplos conservan la propiedad de divisibilidad, lo que hace los cálculos mucho más eficientes.
El Binomio de Newton aplicado a divisibilidad nos da fórmulas poderosas ^k = n̄ + r^k cuando k es cualquier número entero positivo.
Para potencias con base que tiene residuo ^k resulta en n̄ + r^k si k es par, o n̄ - r^k si k es impar. Esto es súper útil para calcular residuos de números muy grandes.
Por ejemplo, para calcular el residuo de 2025^2025 + (ab3₈)^11 al dividir entre 8, notamos que 2025 es impar y el exponente 2025 es impar, lo que nos permite aplicar estas reglas directamente.
Aplicación práctica Estas fórmulas te permiten trabajar con números gigantescos sin necesidad de calcularlos completamente.
Cuando trabajas con divisores de un módulo, las cosas se simplifican mucho. Si A es múltiplo de n, entonces A también será múltiplo de cualquier divisor de n.
Por ejemplo, si N = 21̄, entonces N también será múltiplo de 1, 3 y 7 (todos los divisores de 21). Esto significa que N = 1̄, N = 3̄ y N = 7̄ simultáneamente.
Para números escritos en diferentes bases, como 65247 en base 7, podemos calcular su residuo al dividir entre 7 fácilmente solo nos importa el último dígito, que es 4.
Consejo útil Conocer los divisores de un número te permite trabajar con múltiples módulos a la vez, simplificando muchos problemas.
Cuando un número es múltiplo de varios módulos diferentes con el mismo residuo, podemos usar el MCM (Mínimo Común Múltiplo) para simplificar el problema.
Si N deja residuo r al dividirse entre A, B y C, entonces N = MCM(A,B,C) + r. Por ejemplo, si un número deja residuo 2 al dividirse entre 4, 6 y 8, entonces N = 24̄ + 2.
Para el problema donde un número deja residuo 2 al dividirse entre 8 y residuo 9 al dividirse entre 11, buscamos un número de la forma N = 88k + r, donde necesitamos encontrar r usando las condiciones dadas.
Estrategia ganadora El MCM te permite combinar múltiples condiciones de divisibilidad en una sola expresión manejable.
El Principio de Arquímedes en divisibilidad es una herramienta poderosa para resolver ecuaciones con múltiplos. Si A × B = n̄ y B y n son coprimos (su único divisor común es 1), entonces A = n̄.
Por ejemplo, si 9N = 4̄, como 9 y 4 no tienen divisores comunes aparte del 1, entonces N = 4̄. Esto significa que N debe ser múltiplo de 4.
Los casos particulares incluyen situaciones como 5C = 15̄ + 10, donde podemos simplificar 5C = 5̄(3̄ + 2), por lo tanto C = 3̄ + 2. Este principio te permite "despejar" múltiplos de ecuaciones complejas.
Aplicación directa Este principio convierte ecuaciones aparentemente complicadas en expresiones simples de múltiplos, facilitando enormemente la resolución.
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
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Una increíble aplicación, de verdad. Apareció en el momento en que necesitaba una app que me ayude a organizar mis estudios, al igual que para prepararme para los exámenes. Te da una increíble variedad de estudio que simplemente me encanta. Además de ser una gran ayuda para estudiantes de diferentes grados, como la universidad, lo que más me gusta de esta app es que está para diferentes países.
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Me encantó. La app es superior, buena para los estudiantes. No solo te da las respuestas, sino que también te las explica de una manera asombrosa, lo que hace que entiendas súper rápido. La recomiendo mucho si se te hace difícil comprender las materias que te dejan.
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Muy buena aplicación, da información precisa de lo que se le pide. Es eficiente y, sobre todo, tiene varios intereses a escoger, como por ejemplo, temas sobre el ICFES, temas de bachillerato, entre otros. Excelente app.
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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
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Me costaba demasiado estudiar porque no entiendo cuando me pongo a estudiar, y en los exámenes me iba mal, hasta que me empezaron a aparecer anuncios y la descargué sin tenerle fe. Gracias a esta aplicación, algo que no entendía hace meses y semanas lo entendí. En esta aplicación mis notas mejoraron, y ya no me tengo que preocupar por estudiar.
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¡Excelente! Amé la app. Me parece súper eficiente. Aparte de que enseña mucho, te ayuda en tus problemas personales y te hace resúmenes. Amo. Amé un montón la app. Sirve para cualquier año, desde sexto hasta quinto año. Aparte, hay resúmenes de otras personas. ¡Nonono, loquísimo! Te la recomiendo al 100%. Efectivamente, es un 10/10.
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Excelente experiencia. La aplicación es buenísima, la recomiendo mucho. Es mucho mejor que ChatGPT. Te manda la respuesta de tus búsquedas y, aparte, diapositivas para estudiar. Es magnífica.
Alo
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¡ME ENCANTA! Todo es muy sencillo de utilizar y aprender. Mi IA es muy buena y los apuntes de los demás estudiantes son súper buenos; explica las cosas súper bien y detalladamente. La amo. Pruébenla.
Kitty
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
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Una increíble aplicación, de verdad. Apareció en el momento en que necesitaba una app que me ayude a organizar mis estudios, al igual que para prepararme para los exámenes. Te da una increíble variedad de estudio que simplemente me encanta. Además de ser una gran ayuda para estudiantes de diferentes grados, como la universidad, lo que más me gusta de esta app es que está para diferentes países.
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sadasdas sadas
@sadasdassadas
La divisibilidad y multiplicidad son conceptos fundamentales en matemáticas que te ayudarán a entender cómo los números se relacionan entre sí. Estos principios no solo son esenciales para resolver problemas matemáticos, sino que también aparecen constantemente en exámenes de admisión... Mostrar más
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¿Sabías que entender la relación entre números puede ser más fácil de lo que parece? La divisibilidad ocurre cuando un número puede dividirse exactamente entre otro sin dejar residuo.
Por ejemplo, 35 es divisible por 7 porque 35 = 7 × 5. En este caso, también decimos que 35 es múltiplo de 7 y que 7 es divisor de 35. Es como tener dos formas diferentes de expresar la misma relación matemática.
Para cualquier número N, podemos escribir sus múltiplos como N = nk, donde k es un número entero. Los múltiplos de un número son infinitos y siempre incluyen el cero como múltiplo especial.
¡Dato importante! El cero es múltiplo de cualquier número entero positivo, y la cantidad de múltiplos de cualquier número es ilimitada.
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Contar múltiplos dentro de un rango es una habilidad súper útil que aparece frecuentemente en exámenes. Para números de 2 cifras que son múltiplos de 6, simplemente aplicamos la fórmula práctica.
Los números de 2 cifras van del 10 al 99, lo que nos da un total de 90 números. Para encontrar cuántos son múltiplos de 6, dividimos: 90 ÷ 6 = 15 números.
Los múltiplos de 6 entre 10 y 99 son: 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96. Como ves, efectivamente son 15 números.
Tip de estudio: Para cualquier rango de números, la cantidad de múltiplos se calcula dividiendo la cantidad total de números entre el módulo.
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Los números de 3 cifras (del 100 al 999) nos dan 900 números en total. Para encontrar cuántos son múltiplos de 7, usamos una técnica ligeramente diferente.
Planteamos la desigualdad: 100 < 7k < 1000. Dividiendo entre 7: 14.2 < k < 142.8. Como k debe ser entero, tomamos k desde 15 hasta 142.
Esto nos da: 142 - 15 + 1 = 128 números de 3 cifras que son múltiplos de 7. El primer múltiplo de 7 de 3 cifras es 105 (7×15) y el último es 994 (7×142).
Truco matemático: Cuando trabajas con desigualdades, siempre redondea hacia arriba el límite inferior y hacia abajo el límite superior.
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Los problemas que combinan diferentes múltiplos requieren usar el principio de inclusión-exclusión, pero no te preocupes, es más sencillo de lo que suena.
Para números de 3 cifras múltiplos de 6 o 9 (pero no ambos): primero calculamos los múltiplos de cada uno por separado. Múltiplos de 6: 900÷6 = 150 números. Múltiplos de 9: 900÷9 = 100 números.
Los números que son múltiplos de ambos (6 y 9) son múltiplos de 18: 900÷18 = 50 números. Para encontrar los que son múltiplos de uno pero no del otro, sumamos las diferencias: (150-50) + (100-50) = 150 números.
Estrategia clave: Cuando tengas condiciones "o" pero "no ambos", calcula cada grupo por separado y resta las intersecciones.
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No todos los números son múltiplos perfectos, y ahí es donde entran los residuos. Cuando divides 54 entre 13, obtienes 4 como cociente y 2 como residuo: 54 = 13×4 + 2.
También existe la división por exceso: 54 = 13×5 - 11, donde 11 es el residuo por exceso. Dato importante: residuo por defecto + residuo por exceso = módulo (2 + 11 = 13).
Para resolver problemas como "números de 3 cifras terminados en 7 que dejan residuo 5 al dividirse entre 12", escribimos: ab7 = 12k + 5. Esto significa ab2 = 12k, y aplicamos el rango 102 ≤ 12k ≤ 992.
Técnica de resolución: Siempre convierte el problema a la forma más simple posible antes de aplicar los límites del rango.
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Para la multiplicación: = n̄ + a×b, donde n̄ representa un múltiplo de n. Por ejemplo: (8̄ + 3)(8̄ + 2) = 8̄ + 6.
En potenciación, si un número es múltiplo de n, cualquier potencia de ese número también será múltiplo de n: (n̄)^k = n̄. Estos principios te ahorrarán mucho tiempo en cálculos complejos.
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Por ejemplo, para calcular el residuo de 2025^2025 + (ab3₈)^11 al dividir entre 8, notamos que 2025 es impar y el exponente 2025 es impar, lo que nos permite aplicar estas reglas directamente.
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Cuando trabajas con divisores de un módulo, las cosas se simplifican mucho. Si A es múltiplo de n, entonces A también será múltiplo de cualquier divisor de n.
Por ejemplo, si N = 21̄, entonces N también será múltiplo de 1, 3 y 7 (todos los divisores de 21). Esto significa que N = 1̄, N = 3̄ y N = 7̄ simultáneamente.
Para números escritos en diferentes bases, como 65247 en base 7, podemos calcular su residuo al dividir entre 7 fácilmente: solo nos importa el último dígito, que es 4.
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Si N deja residuo r al dividirse entre A, B y C, entonces: N = MCM(A,B,C) + r. Por ejemplo, si un número deja residuo 2 al dividirse entre 4, 6 y 8, entonces N = 24̄ + 2.
Para el problema donde un número deja residuo 2 al dividirse entre 8 y residuo 9 al dividirse entre 11, buscamos un número de la forma N = 88k + r, donde necesitamos encontrar r usando las condiciones dadas.
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Por ejemplo, si 9N = 4̄, como 9 y 4 no tienen divisores comunes aparte del 1, entonces N = 4̄. Esto significa que N debe ser múltiplo de 4.
Los casos particulares incluyen situaciones como 5C = 15̄ + 10, donde podemos simplificar: 5C = 5̄(3̄ + 2), por lo tanto C = 3̄ + 2. Este principio te permite "despejar" múltiplos de ecuaciones complejas.
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Excelente experiencia. La aplicación es buenísima, la recomiendo mucho. Es mucho mejor que ChatGPT. Te manda la respuesta de tus búsquedas y, aparte, diapositivas para estudiar. Es magnífica.
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Kitty
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Me encantó. La app es superior, buena para los estudiantes. No solo te da las respuestas, sino que también te las explica de una manera asombrosa, lo que hace que entiendas súper rápido. La recomiendo mucho si se te hace difícil comprender las materias que te dejan.
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Roberto
usuario de Android
Me costaba demasiado estudiar porque no entiendo cuando me pongo a estudiar, y en los exámenes me iba mal, hasta que me empezaron a aparecer anuncios y la descargué sin tenerle fe. Gracias a esta aplicación, algo que no entendía hace meses y semanas lo entendí. En esta aplicación mis notas mejoraron, y ya no me tengo que preocupar por estudiar.
Antonella
Argentina
¡Excelente! Amé la app. Me parece súper eficiente. Aparte de que enseña mucho, te ayuda en tus problemas personales y te hace resúmenes. Amo. Amé un montón la app. Sirve para cualquier año, desde sexto hasta quinto año. Aparte, hay resúmenes de otras personas. ¡Nonono, loquísimo! Te la recomiendo al 100%. Efectivamente, es un 10/10.
Usuario argentino
iOS.
Excelente experiencia. La aplicación es buenísima, la recomiendo mucho. Es mucho mejor que ChatGPT. Te manda la respuesta de tus búsquedas y, aparte, diapositivas para estudiar. Es magnífica.
Alo
México
¡ME ENCANTA! Todo es muy sencillo de utilizar y aprender. Mi IA es muy buena y los apuntes de los demás estudiantes son súper buenos; explica las cosas súper bien y detalladamente. La amo. Pruébenla.
Kitty
Colombia
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