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sadasdas sadas
10/12/2025
Matemáticas
PUNTOS NOTABLES
155
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10 dic. 2025
•
sadasdas sadas
@sadasdassadas
Los puntos notables de un triángulo son ubicaciones especiales que... Mostrar más
¿Sabías que todo triángulo tiene un "punto de equilibrio" perfecto? Ese punto es el baricentro, donde se cruzan las tres medianas del triángulo.
Una mediana es la línea que va desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto. En el ejemplo, las medianas son AM, BN y CL, y todas se encuentran en el punto G.
💡 Dato curioso: Si recortas un triángulo de cartón y lo equilibras en su baricentro, ¡se mantendrá perfectamente balanceado!
Aquí viene la parte genial: el baricentro no divide las medianas por la mitad, sino en una proporción específica de 2:1. Esto significa que la distancia del vértice al baricentro es siempre el doble que la distancia del baricentro al punto medio.
Las fórmulas son: AG = 2(GM), BG = 2(GN), y CG = 2(GL). Memoriza esta relación 2:1 porque es clave para resolver muchos problemas.
📝 Tip de examen: Esta proporción 2:1 es una de las preguntas más frecuentes sobre baricentros.
El incentro es el punto donde se cruzan las bisectrices interiores del triángulo. Las bisectrices son las líneas que dividen cada ángulo exactamente por la mitad.
Lo genial del incentro es que siempre está dentro del triángulo y es el centro de la circunferencia inscrita. Esta circunferencia toca los tres lados del triángulo desde adentro, y su radio se llama inradio (r).
🎯 Aplicación práctica: El incentro siempre equidista de los tres lados del triángulo, por eso es perfecto para la circunferencia inscrita.
El excentro se forma cuando se cruzan dos bisectrices de ángulos exteriores con una bisectriz de ángulo interior. Cada triángulo tiene tres excentros diferentes, uno opuesto a cada vértice.
Los excentros están relacionados con las circunferencias exinscritas, que tocan un lado del triángulo y las prolongaciones de los otros dos lados. El radio de estas circunferencias se llama exradio (ra).
⚡ Recuerda: Mientras que hay un solo incentro, ¡existen tres excentros por triángulo!
El ortocentro es donde se cruzan las tres alturas del triángulo (o sus prolongaciones). Una altura es la línea perpendicular desde un vértice hacia el lado opuesto.
La ubicación del ortocentro depende del tipo de triángulo. En triángulos acutángulos, el ortocentro está dentro del triángulo. Es súper importante entender esta variación de posición.
📍 Ubicación clave: A diferencia del incentro, el ortocentro puede estar dentro, fuera o exactamente en un vértice del triángulo.
La posición del ortocentro cambia según el tipo de triángulo, y esto es crucial para los exámenes. En triángulos obtusángulos, el ortocentro está fuera del triángulo.
En triángulos rectángulos, el ortocentro coincide exactamente con el vértice del ángulo recto. Esto sucede porque las alturas desde los otros dos vértices son simplemente los lados del triángulo.
🔍 Truco de memoria: Rectángulo = ortocentro en el vértice recto. ¡Es así de simple!
El circuncentro es el punto donde se cruzan las mediatrices de los lados del triángulo. Una mediatriz es la línea perpendicular que pasa por el punto medio de cada lado.
El circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita, que pasa por los tres vértices del triángulo. La distancia del circuncentro a cualquier vértice es el circunradio (R).
🎯 Propiedad clave: El circuncentro equidista de los tres vértices, por eso es perfecto para la circunferencia circunscrita.
Al igual que el ortocentro, la posición del circuncentro varía según el tipo de triángulo. En triángulos acutángulos está dentro, en obtusángulos está fuera.
Lo más importante: en triángulos rectángulos, el circuncentro es el punto medio de la hipotenusa. Esta es una propiedad súper útil que aparece frecuentemente en problemas.
✨ Conexión importante: En triángulos rectángulos, la hipotenusa es un diámetro de la circunferencia circunscrita.
Existe una relación increíble entre el ortocentro (H) y el circuncentro (O): la distancia de cualquier vértice al ortocentro es el doble de la distancia del circuncentro al lado opuesto.
La fórmula es BH = 2(OM), donde M es el punto donde la perpendicular del circuncentro toca el lado opuesto. Esta relación 2:1 es similar a la del baricentro.
🔗 Patrón importante: Fíjate cómo aparece la relación 2:1 en varios puntos notables. ¡No es casualidad!
La recta de Euler es una línea especial que conecta tres puntos notables: el ortocentro, el baricentro y el circuncentro. Estos tres puntos siempre están alineados en cualquier triángulo.
Además, el baricentro divide el segmento entre ortocentro y circuncentro en proporción 2:1. Esta es una de las propiedades más elegantes de la geometría triangular.
🌟 Dato fascinante: Esta recta lleva el nombre del matemático Leonhard Euler y es una de las líneas más importantes en geometría del triángulo.
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.
¡Sí lo es! Tienes acceso totalmente gratuito a todo el contenido de la app, puedes chatear con otros alumnos y recibir ayuda inmeditamente. Puedes ganar dinero utilizando la aplicación, que te permitirá acceder a determinadas funciones.
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Google Play
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Una increíble aplicación, de verdad. Apareció en el momento en que necesitaba una app que me ayude a organizar mis estudios, al igual que para prepararme para los exámenes. Te da una increíble variedad de estudio que simplemente me encanta. Además de ser una gran ayuda para estudiantes de diferentes grados, como la universidad, lo que más me gusta de esta app es que está para diferentes países.
Bárbara
Chile
Me encantó. La app es superior, buena para los estudiantes. No solo te da las respuestas, sino que también te las explica de una manera asombrosa, lo que hace que entiendas súper rápido. La recomiendo mucho si se te hace difícil comprender las materias que te dejan.
Jennifer
Perú
Muy buena aplicación, da información precisa de lo que se le pide. Es eficiente y, sobre todo, tiene varios intereses a escoger, como por ejemplo, temas sobre el ICFES, temas de bachillerato, entre otros. Excelente app.
Lady
Colombia
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Me costaba demasiado estudiar porque no entiendo cuando me pongo a estudiar, y en los exámenes me iba mal, hasta que me empezaron a aparecer anuncios y la descargué sin tenerle fe. Gracias a esta aplicación, algo que no entendía hace meses y semanas lo entendí. En esta aplicación mis notas mejoraron, y ya no me tengo que preocupar por estudiar.
Antonella
Argentina
¡Excelente! Amé la app. Me parece súper eficiente. Aparte de que enseña mucho, te ayuda en tus problemas personales y te hace resúmenes. Amo. Amé un montón la app. Sirve para cualquier año, desde sexto hasta quinto año. Aparte, hay resúmenes de otras personas. ¡Nonono, loquísimo! Te la recomiendo al 100%. Efectivamente, es un 10/10.
Usuario argentino
iOS.
Excelente experiencia. La aplicación es buenísima, la recomiendo mucho. Es mucho mejor que ChatGPT. Te manda la respuesta de tus búsquedas y, aparte, diapositivas para estudiar. Es magnífica.
Alo
México
¡ME ENCANTA! Todo es muy sencillo de utilizar y aprender. Mi IA es muy buena y los apuntes de los demás estudiantes son súper buenos; explica las cosas súper bien y detalladamente. La amo. Pruébenla.
Kitty
Colombia
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
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Una increíble aplicación, de verdad. Apareció en el momento en que necesitaba una app que me ayude a organizar mis estudios, al igual que para prepararme para los exámenes. Te da una increíble variedad de estudio que simplemente me encanta. Además de ser una gran ayuda para estudiantes de diferentes grados, como la universidad, lo que más me gusta de esta app es que está para diferentes países.
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Me encantó. La app es superior, buena para los estudiantes. No solo te da las respuestas, sino que también te las explica de una manera asombrosa, lo que hace que entiendas súper rápido. La recomiendo mucho si se te hace difícil comprender las materias que te dejan.
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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
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Me costaba demasiado estudiar porque no entiendo cuando me pongo a estudiar, y en los exámenes me iba mal, hasta que me empezaron a aparecer anuncios y la descargué sin tenerle fe. Gracias a esta aplicación, algo que no entendía hace meses y semanas lo entendí. En esta aplicación mis notas mejoraron, y ya no me tengo que preocupar por estudiar.
Antonella
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¡Excelente! Amé la app. Me parece súper eficiente. Aparte de que enseña mucho, te ayuda en tus problemas personales y te hace resúmenes. Amo. Amé un montón la app. Sirve para cualquier año, desde sexto hasta quinto año. Aparte, hay resúmenes de otras personas. ¡Nonono, loquísimo! Te la recomiendo al 100%. Efectivamente, es un 10/10.
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Excelente experiencia. La aplicación es buenísima, la recomiendo mucho. Es mucho mejor que ChatGPT. Te manda la respuesta de tus búsquedas y, aparte, diapositivas para estudiar. Es magnífica.
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¡ME ENCANTA! Todo es muy sencillo de utilizar y aprender. Mi IA es muy buena y los apuntes de los demás estudiantes son súper buenos; explica las cosas súper bien y detalladamente. La amo. Pruébenla.
Kitty
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sadasdas sadas
@sadasdassadas
Los puntos notables de un triángulo son ubicaciones especiales que se forman cuando ciertas líneas se cruzan dentro o alrededor del triángulo. Estos puntos tienen propiedades únicas que son súper útiles para resolver problemas geométricos y aparecen constantemente en exámenes.
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¿Sabías que todo triángulo tiene un "punto de equilibrio" perfecto? Ese punto es el baricentro, donde se cruzan las tres medianas del triángulo.
Una mediana es la línea que va desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto. En el ejemplo, las medianas son AM, BN y CL, y todas se encuentran en el punto G.
💡 Dato curioso: Si recortas un triángulo de cartón y lo equilibras en su baricentro, ¡se mantendrá perfectamente balanceado!
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Aquí viene la parte genial: el baricentro no divide las medianas por la mitad, sino en una proporción específica de 2:1. Esto significa que la distancia del vértice al baricentro es siempre el doble que la distancia del baricentro al punto medio.
Las fórmulas son: AG = 2(GM), BG = 2(GN), y CG = 2(GL). Memoriza esta relación 2:1 porque es clave para resolver muchos problemas.
📝 Tip de examen: Esta proporción 2:1 es una de las preguntas más frecuentes sobre baricentros.
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El incentro es el punto donde se cruzan las bisectrices interiores del triángulo. Las bisectrices son las líneas que dividen cada ángulo exactamente por la mitad.
Lo genial del incentro es que siempre está dentro del triángulo y es el centro de la circunferencia inscrita. Esta circunferencia toca los tres lados del triángulo desde adentro, y su radio se llama inradio (r).
🎯 Aplicación práctica: El incentro siempre equidista de los tres lados del triángulo, por eso es perfecto para la circunferencia inscrita.
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El excentro se forma cuando se cruzan dos bisectrices de ángulos exteriores con una bisectriz de ángulo interior. Cada triángulo tiene tres excentros diferentes, uno opuesto a cada vértice.
Los excentros están relacionados con las circunferencias exinscritas, que tocan un lado del triángulo y las prolongaciones de los otros dos lados. El radio de estas circunferencias se llama exradio (ra).
⚡ Recuerda: Mientras que hay un solo incentro, ¡existen tres excentros por triángulo!
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El ortocentro es donde se cruzan las tres alturas del triángulo (o sus prolongaciones). Una altura es la línea perpendicular desde un vértice hacia el lado opuesto.
La ubicación del ortocentro depende del tipo de triángulo. En triángulos acutángulos, el ortocentro está dentro del triángulo. Es súper importante entender esta variación de posición.
📍 Ubicación clave: A diferencia del incentro, el ortocentro puede estar dentro, fuera o exactamente en un vértice del triángulo.
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La posición del ortocentro cambia según el tipo de triángulo, y esto es crucial para los exámenes. En triángulos obtusángulos, el ortocentro está fuera del triángulo.
En triángulos rectángulos, el ortocentro coincide exactamente con el vértice del ángulo recto. Esto sucede porque las alturas desde los otros dos vértices son simplemente los lados del triángulo.
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El circuncentro es el punto donde se cruzan las mediatrices de los lados del triángulo. Una mediatriz es la línea perpendicular que pasa por el punto medio de cada lado.
El circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita, que pasa por los tres vértices del triángulo. La distancia del circuncentro a cualquier vértice es el circunradio (R).
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Lo más importante: en triángulos rectángulos, el circuncentro es el punto medio de la hipotenusa. Esta es una propiedad súper útil que aparece frecuentemente en problemas.
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Existe una relación increíble entre el ortocentro (H) y el circuncentro (O): la distancia de cualquier vértice al ortocentro es el doble de la distancia del circuncentro al lado opuesto.
La fórmula es BH = 2(OM), donde M es el punto donde la perpendicular del circuncentro toca el lado opuesto. Esta relación 2:1 es similar a la del baricentro.
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La recta de Euler es una línea especial que conecta tres puntos notables: el ortocentro, el baricentro y el circuncentro. Estos tres puntos siempre están alineados en cualquier triángulo.
Además, el baricentro divide el segmento entre ortocentro y circuncentro en proporción 2:1. Esta es una de las propiedades más elegantes de la geometría triangular.
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Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
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Ana
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Bárbara
Chile
Me encantó. La app es superior, buena para los estudiantes. No solo te da las respuestas, sino que también te las explica de una manera asombrosa, lo que hace que entiendas súper rápido. La recomiendo mucho si se te hace difícil comprender las materias que te dejan.
Jennifer
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Muy buena aplicación, da información precisa de lo que se le pide. Es eficiente y, sobre todo, tiene varios intereses a escoger, como por ejemplo, temas sobre el ICFES, temas de bachillerato, entre otros. Excelente app.
Lady
Colombia
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Me costaba demasiado estudiar porque no entiendo cuando me pongo a estudiar, y en los exámenes me iba mal, hasta que me empezaron a aparecer anuncios y la descargué sin tenerle fe. Gracias a esta aplicación, algo que no entendía hace meses y semanas lo entendí. En esta aplicación mis notas mejoraron, y ya no me tengo que preocupar por estudiar.
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Usuario argentino
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Excelente experiencia. La aplicación es buenísima, la recomiendo mucho. Es mucho mejor que ChatGPT. Te manda la respuesta de tus búsquedas y, aparte, diapositivas para estudiar. Es magnífica.
Alo
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¡ME ENCANTA! Todo es muy sencillo de utilizar y aprender. Mi IA es muy buena y los apuntes de los demás estudiantes son súper buenos; explica las cosas súper bien y detalladamente. La amo. Pruébenla.
Kitty
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Pablo
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Elena
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Jennifer
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Lady
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Sara
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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
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Me costaba demasiado estudiar porque no entiendo cuando me pongo a estudiar, y en los exámenes me iba mal, hasta que me empezaron a aparecer anuncios y la descargué sin tenerle fe. Gracias a esta aplicación, algo que no entendía hace meses y semanas lo entendí. En esta aplicación mis notas mejoraron, y ya no me tengo que preocupar por estudiar.
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