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sadasdas sadas
4/12/2025
Matemáticas
PROBABILIDADES
153
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4 dic. 2025
•
sadasdas sadas
@sadasdassadas
¿Alguna vez te preguntaste cómo calcular las posibilidades de que... Mostrar más
La probabilidad estudia situaciones donde los resultados no se pueden predecir con certeza. Imagínate lanzando un dado: no sabes qué número saldrá, pero sí conoces todos los resultados posibles.
Un experimento aleatorio es cualquier acción que, bajo las mismas condiciones, puede dar resultados diferentes e impredecibles. Por ejemplo, lanzar una moneda o tirar un dado son experimentos aleatorios porque no puedes saber de antemano qué resultado obtendrás.
El espacio muestral (Ω) es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento. Si lanzas un dado, tu espacio muestral es {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Si lanzas dos monedas, sería {CC, CS, SC, SS}.
¡Ojo! La clave está en identificar correctamente todos los resultados posibles antes de calcular cualquier probabilidad.
Un evento es cualquier subconjunto del espacio muestral. Es decir, es una colección de resultados que nos interesan. Por ejemplo, si lanzas un dado y quieres obtener un número par, tu evento sería A = {2, 4, 6}.
Existen eventos especiales que debes conocer. El evento imposible nunca ocurrirá (como obtener un 7 al lanzar un dado normal). El evento seguro siempre ocurrirá (como obtener un número del 1 al 6 con el mismo dado).
Los eventos unitarios tienen un solo elemento, como obtener exactamente el número 3. Estos conceptos son fundamentales porque te ayudan a organizar la información antes de calcular probabilidades.
Tip de estudio: Practica identificando el tipo de evento en cada problema. Esto te ahorrará tiempo en los exámenes.
La fórmula básica de probabilidad es sorprendentemente simple: P(A) = casos favorables / casos totales. Esta es la base de todo lo que aprenderás después.
Para calcular P(A) = n(A)/n(Ω), solo necesitas contar correctamente. Si quieres la probabilidad de obtener un número par al lanzar un dado, tienes 3 casos favorables (2, 4, 6) entre 6 casos totales, así que P(A) = 3/6 = 0.5.
La probabilidad siempre está entre 0 y 1. Un valor cercano a 0 significa que es poco probable, mientras que cercano a 1 significa muy probable. Por ejemplo, P(B) = 0.75 indica que hay 75% de probabilidad de que ocurra el evento B.
Recuerda: La probabilidad se usa en economía, medicina, ingeniería y muchas carreras. ¡No es solo teoría!
Los problemas reales a menudo involucran seleccionar grupos de personas u objetos. Aquí es donde las combinaciones se vuelven esenciales para contar casos correctamente.
En el ejemplo del comité, tienes 16 personas total y quieres formar un comité de 5 personas. Los casos totales son C₁₆⁵ = 4368 maneras diferentes de elegir 5 personas de 16.
Para los casos favorables (2 hombres y 3 mujeres), multiplicas las formas de elegir 2 hombres de 6 (C₆²) por las formas de elegir 3 mujeres de 10 (C₁₀³). Esto da C₆² × C₁₀³ = 15 × 120 = 1800.
Estrategia: Siempre identifica primero qué tipo de conteo necesitas: ¿importa el orden? ¿hay repetición? Esto determina si usas combinaciones o permutaciones.
Las propiedades de probabilidad son como reglas del juego que siempre se cumplen. La más importante es que 0 ≤ P(A) ≤ 1 para cualquier evento A.
El evento complementario (Aᶜ) es todo lo que no es A. Su fórmula P(Aᶜ) = 1 - P(A) es súper útil cuando es más fácil calcular lo que NO queremos. En el ejemplo de las pelotas, es más fácil calcular "no sacar negra" que enumerar todas las verdes y rojas.
Si P(A) = 0, el evento es imposible. Si P(A) = 1, el evento es seguro. Estos casos extremos te ayudan a verificar si tus cálculos tienen sentido.
Truco de examen: Cuando el problema pregunta "al menos uno", considera usar el complemento. Calcula "ninguno" y réstalo de 1.
La fórmula de la unión de eventos es P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B). El término P(A∩B) se resta porque al sumar P(A) y P(B) lo contamos dos veces.
Los eventos mutuamente excluyentes no pueden ocurrir al mismo tiempo. Por ejemplo, obtener cara Y sello en un solo lanzamiento de moneda es imposible. Para estos eventos, P(A∩B) = 0, entonces P(A∪B) = P(A) + P(B).
Los eventos independientes son cuando uno no afecta al otro. Si A y B son independientes, entonces P(A∩B) = P(A) × P(B). Esto pasa cuando lanzas dos dados: el resultado del primero no afecta al segundo.
Diferencia clave: Mutuamente excluyentes significa "no pueden pasar juntos". Independientes significa "uno no afecta al otro".
Este problema combina probabilidad con progresiones aritméticas. Necesitas encontrar tríos de números consecutivos (razón 1) o consecutivos decrecientes .
Con fichas del 1 al 12, los casos totales son 12×11×10 = 1320 (sin reposición, importa el orden). Para progresión aritmética de razón 1, tienes secuencias como (1,2,3), (2,3,4), ..., (10,11,12). Son 10 secuencias.
Para razón -1, tienes (3,2,1), (4,3,2), ..., (12,11,10). También son 10 secuencias. En total: 20 casos favorables. Por tanto, P(A) = 20/1320 = 1/66.
Método: En problemas complejos, divide el evento en casos más simples. Cuenta sistemáticamente para no omitir ninguna posibilidad.
La probabilidad condicional P(A|B) mide qué tan probable es que ocurra A cuando ya sabemos que ocurrió B. Es como actualizar nuestro conocimiento con nueva información.
La fórmula es P(A|B) = P(A∩B)/P(B), donde P(B) ≠ 0. Esta fórmula tiene sentido: reduces el espacio muestral solo a los casos donde B ocurrió, y dentro de esos casos, cuentas cuántos también tienen A.
La probabilidad condicional siempre está entre 0 y 1, como cualquier probabilidad. Sin embargo, P(A|B) puede ser muy diferente de P(A). Esto ocurre cuando los eventos están relacionados de alguna manera.
Interpretación: Lee P(A|B) como "la probabilidad de A dado que ya ocurrió B". El símbolo "|" significa "dado que".
En el ejemplo de los estudiantes, queremos P(aprobado|estudiado). De la tabla, 40 estudiantes estudiaron y de esos, 32 aprobaron. Entonces P(aprobado|estudiado) = 32/40 = 0.8.
También puedes usar la fórmula: P(aprobado∩estudiado) = 32/50 = 0.64 y P(estudiado) = 40/50 = 0.8. Por tanto, P(aprobado|estudiado) = 0.64/0.8 = 0.8.
Este resultado significa que si un estudiante estudió, tiene 80% de probabilidad de aprobar. Compara esto con la probabilidad general de aprobar: 34/50 = 68%. Estudiar claramente aumenta las posibilidades.
Insight: La probabilidad condicional te permite medir el efecto real de una condición (como estudiar) sobre el resultado (aprobar).
Una variable aleatoria X asigna números a los resultados de un experimento. En el ejemplo de las tres monedas, X cuenta el número de sellos. Esto convierte resultados como "CCS" en el número 1.
La función de probabilidad P te dice la probabilidad de cada valor posible de X. En nuestro ejemplo: P = 1/8, P = 3/8, P = 3/8, P = 1/8.
Una propiedad fundamental es que todas las probabilidades suman 1: ΣP = 1. Esto tiene sentido porque X debe tomar algún valor, y hemos considerado todas las posibilidades.
Aplicación: Las variables aleatorias te permiten hacer preguntas como P(X ≥ 2) = 3/8 + 1/8 = 4/8 = 1/2.
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.
¡Sí lo es! Tienes acceso totalmente gratuito a todo el contenido de la app, puedes chatear con otros alumnos y recibir ayuda inmeditamente. Puedes ganar dinero utilizando la aplicación, que te permitirá acceder a determinadas funciones.
App Store
Google Play
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Una increíble aplicación, de verdad. Apareció en el momento en que necesitaba una app que me ayude a organizar mis estudios, al igual que para prepararme para los exámenes. Te da una increíble variedad de estudio que simplemente me encanta. Además de ser una gran ayuda para estudiantes de diferentes grados, como la universidad, lo que más me gusta de esta app es que está para diferentes países.
Bárbara
Chile
Me encantó. La app es superior, buena para los estudiantes. No solo te da las respuestas, sino que también te las explica de una manera asombrosa, lo que hace que entiendas súper rápido. La recomiendo mucho si se te hace difícil comprender las materias que te dejan.
Jennifer
Perú
Muy buena aplicación, da información precisa de lo que se le pide. Es eficiente y, sobre todo, tiene varios intereses a escoger, como por ejemplo, temas sobre el ICFES, temas de bachillerato, entre otros. Excelente app.
Lady
Colombia
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Me costaba demasiado estudiar porque no entiendo cuando me pongo a estudiar, y en los exámenes me iba mal, hasta que me empezaron a aparecer anuncios y la descargué sin tenerle fe. Gracias a esta aplicación, algo que no entendía hace meses y semanas lo entendí. En esta aplicación mis notas mejoraron, y ya no me tengo que preocupar por estudiar.
Antonella
Argentina
¡Excelente! Amé la app. Me parece súper eficiente. Aparte de que enseña mucho, te ayuda en tus problemas personales y te hace resúmenes. Amo. Amé un montón la app. Sirve para cualquier año, desde sexto hasta quinto año. Aparte, hay resúmenes de otras personas. ¡Nonono, loquísimo! Te la recomiendo al 100%. Efectivamente, es un 10/10.
Usuario argentino
iOS.
Excelente experiencia. La aplicación es buenísima, la recomiendo mucho. Es mucho mejor que ChatGPT. Te manda la respuesta de tus búsquedas y, aparte, diapositivas para estudiar. Es magnífica.
Alo
México
¡ME ENCANTA! Todo es muy sencillo de utilizar y aprender. Mi IA es muy buena y los apuntes de los demás estudiantes son súper buenos; explica las cosas súper bien y detalladamente. La amo. Pruébenla.
Kitty
Colombia
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
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Una increíble aplicación, de verdad. Apareció en el momento en que necesitaba una app que me ayude a organizar mis estudios, al igual que para prepararme para los exámenes. Te da una increíble variedad de estudio que simplemente me encanta. Además de ser una gran ayuda para estudiantes de diferentes grados, como la universidad, lo que más me gusta de esta app es que está para diferentes países.
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sadasdas sadas
@sadasdassadas
¿Alguna vez te preguntaste cómo calcular las posibilidades de que ocurra algo? La probabilidad está en todas partes: desde predecir si lloverá hasta saber qué tan probable es aprobar un examen. Este tema te enseñará a manejar experimentos aleatorios, calcular... Mostrar más
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La probabilidad estudia situaciones donde los resultados no se pueden predecir con certeza. Imagínate lanzando un dado: no sabes qué número saldrá, pero sí conoces todos los resultados posibles.
Un experimento aleatorio es cualquier acción que, bajo las mismas condiciones, puede dar resultados diferentes e impredecibles. Por ejemplo, lanzar una moneda o tirar un dado son experimentos aleatorios porque no puedes saber de antemano qué resultado obtendrás.
El espacio muestral (Ω) es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento. Si lanzas un dado, tu espacio muestral es {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Si lanzas dos monedas, sería {CC, CS, SC, SS}.
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Existen eventos especiales que debes conocer. El evento imposible nunca ocurrirá (como obtener un 7 al lanzar un dado normal). El evento seguro siempre ocurrirá (como obtener un número del 1 al 6 con el mismo dado).
Los eventos unitarios tienen un solo elemento, como obtener exactamente el número 3. Estos conceptos son fundamentales porque te ayudan a organizar la información antes de calcular probabilidades.
Tip de estudio: Practica identificando el tipo de evento en cada problema. Esto te ahorrará tiempo en los exámenes.
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Para calcular P(A) = n(A)/n(Ω), solo necesitas contar correctamente. Si quieres la probabilidad de obtener un número par al lanzar un dado, tienes 3 casos favorables (2, 4, 6) entre 6 casos totales, así que P(A) = 3/6 = 0.5.
La probabilidad siempre está entre 0 y 1. Un valor cercano a 0 significa que es poco probable, mientras que cercano a 1 significa muy probable. Por ejemplo, P(B) = 0.75 indica que hay 75% de probabilidad de que ocurra el evento B.
Recuerda: La probabilidad se usa en economía, medicina, ingeniería y muchas carreras. ¡No es solo teoría!
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Para los casos favorables (2 hombres y 3 mujeres), multiplicas las formas de elegir 2 hombres de 6 (C₆²) por las formas de elegir 3 mujeres de 10 (C₁₀³). Esto da C₆² × C₁₀³ = 15 × 120 = 1800.
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El evento complementario (Aᶜ) es todo lo que no es A. Su fórmula P(Aᶜ) = 1 - P(A) es súper útil cuando es más fácil calcular lo que NO queremos. En el ejemplo de las pelotas, es más fácil calcular "no sacar negra" que enumerar todas las verdes y rojas.
Si P(A) = 0, el evento es imposible. Si P(A) = 1, el evento es seguro. Estos casos extremos te ayudan a verificar si tus cálculos tienen sentido.
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Los eventos mutuamente excluyentes no pueden ocurrir al mismo tiempo. Por ejemplo, obtener cara Y sello en un solo lanzamiento de moneda es imposible. Para estos eventos, P(A∩B) = 0, entonces P(A∪B) = P(A) + P(B).
Los eventos independientes son cuando uno no afecta al otro. Si A y B son independientes, entonces P(A∩B) = P(A) × P(B). Esto pasa cuando lanzas dos dados: el resultado del primero no afecta al segundo.
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Este problema combina probabilidad con progresiones aritméticas. Necesitas encontrar tríos de números consecutivos (razón 1) o consecutivos decrecientes .
Con fichas del 1 al 12, los casos totales son 12×11×10 = 1320 (sin reposición, importa el orden). Para progresión aritmética de razón 1, tienes secuencias como (1,2,3), (2,3,4), ..., (10,11,12). Son 10 secuencias.
Para razón -1, tienes (3,2,1), (4,3,2), ..., (12,11,10). También son 10 secuencias. En total: 20 casos favorables. Por tanto, P(A) = 20/1320 = 1/66.
Método: En problemas complejos, divide el evento en casos más simples. Cuenta sistemáticamente para no omitir ninguna posibilidad.
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La probabilidad condicional siempre está entre 0 y 1, como cualquier probabilidad. Sin embargo, P(A|B) puede ser muy diferente de P(A). Esto ocurre cuando los eventos están relacionados de alguna manera.
Interpretación: Lee P(A|B) como "la probabilidad de A dado que ya ocurrió B". El símbolo "|" significa "dado que".
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También puedes usar la fórmula: P(aprobado∩estudiado) = 32/50 = 0.64 y P(estudiado) = 40/50 = 0.8. Por tanto, P(aprobado|estudiado) = 0.64/0.8 = 0.8.
Este resultado significa que si un estudiante estudió, tiene 80% de probabilidad de aprobar. Compara esto con la probabilidad general de aprobar: 34/50 = 68%. Estudiar claramente aumenta las posibilidades.
Insight: La probabilidad condicional te permite medir el efecto real de una condición (como estudiar) sobre el resultado (aprobar).
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Una variable aleatoria X asigna números a los resultados de un experimento. En el ejemplo de las tres monedas, X cuenta el número de sellos. Esto convierte resultados como "CCS" en el número 1.
La función de probabilidad P te dice la probabilidad de cada valor posible de X. En nuestro ejemplo: P = 1/8, P = 3/8, P = 3/8, P = 1/8.
Una propiedad fundamental es que todas las probabilidades suman 1: ΣP = 1. Esto tiene sentido porque X debe tomar algún valor, y hemos considerado todas las posibilidades.
Aplicación: Las variables aleatorias te permiten hacer preguntas como P(X ≥ 2) = 3/8 + 1/8 = 4/8 = 1/2.
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
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Una increíble aplicación, de verdad. Apareció en el momento en que necesitaba una app que me ayude a organizar mis estudios, al igual que para prepararme para los exámenes. Te da una increíble variedad de estudio que simplemente me encanta. Además de ser una gran ayuda para estudiantes de diferentes grados, como la universidad, lo que más me gusta de esta app es que está para diferentes países.
Bárbara
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Me encantó. La app es superior, buena para los estudiantes. No solo te da las respuestas, sino que también te las explica de una manera asombrosa, lo que hace que entiendas súper rápido. La recomiendo mucho si se te hace difícil comprender las materias que te dejan.
Jennifer
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Muy buena aplicación, da información precisa de lo que se le pide. Es eficiente y, sobre todo, tiene varios intereses a escoger, como por ejemplo, temas sobre el ICFES, temas de bachillerato, entre otros. Excelente app.
Lady
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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Me costaba demasiado estudiar porque no entiendo cuando me pongo a estudiar, y en los exámenes me iba mal, hasta que me empezaron a aparecer anuncios y la descargué sin tenerle fe. Gracias a esta aplicación, algo que no entendía hace meses y semanas lo entendí. En esta aplicación mis notas mejoraron, y ya no me tengo que preocupar por estudiar.
Antonella
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Excelente experiencia. La aplicación es buenísima, la recomiendo mucho. Es mucho mejor que ChatGPT. Te manda la respuesta de tus búsquedas y, aparte, diapositivas para estudiar. Es magnífica.
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¡ME ENCANTA! Todo es muy sencillo de utilizar y aprender. Mi IA es muy buena y los apuntes de los demás estudiantes son súper buenos; explica las cosas súper bien y detalladamente. La amo. Pruébenla.
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Me costaba demasiado estudiar porque no entiendo cuando me pongo a estudiar, y en los exámenes me iba mal, hasta que me empezaron a aparecer anuncios y la descargué sin tenerle fe. Gracias a esta aplicación, algo que no entendía hace meses y semanas lo entendí. En esta aplicación mis notas mejoraron, y ya no me tengo que preocupar por estudiar.
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Usuario argentino
iOS.
Excelente experiencia. La aplicación es buenísima, la recomiendo mucho. Es mucho mejor que ChatGPT. Te manda la respuesta de tus búsquedas y, aparte, diapositivas para estudiar. Es magnífica.
Alo
México
¡ME ENCANTA! Todo es muy sencillo de utilizar y aprender. Mi IA es muy buena y los apuntes de los demás estudiantes son súper buenos; explica las cosas súper bien y detalladamente. La amo. Pruébenla.
Kitty
Colombia
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