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sadasdas sadas
3/12/2025
Matemáticas
MATRICES
172
•
3 dic. 2025
•
sadasdas sadas
@sadasdassadas
¿Sabías que las matrices están en todas partes? Desde los... Mostrar más
Esta es la portada del material de Física de la Academia César Vallejo para el ciclo semestral UNI. El contenido está diseñado para prepararte específicamente para el examen de admisión.
La academia se enfoca en brindarte las herramientas necesarias para que tengas éxito en tu postulación a la Universidad Nacional de Ingeniería.
Este material corresponde a la semana 16 del curso de Álgebra, específicamente sobre el tema de Matrices. El docente a cargo es Juan Gamarra C.
Las matrices son fundamentales en matemática superior y aparecen constantemente en los exámenes de admisión. Dominar este tema te dará una ventaja importante en tu preparación para la UNI.
Una matriz es simplemente un arreglo rectangular de números organizados en filas y columnas, como una tabla súper organizada. Se representan siempre con letras mayúsculas como A, B o C.
El orden de una matriz te dice cuántas filas y columnas tiene. Por ejemplo, si una matriz tiene 2 filas y 3 columnas, decimos que es de orden 2×3. Es como las coordenadas de tu ubicación: primero filas, después columnas.
La notación general A = (aij)m×n significa que el elemento aij está en la fila i y columna j. Imagínate que cada elemento tiene su "dirección" dentro de la matriz.
¡Tip clave! Siempre recuerda: primero filas, después columnas. Es como leer: de arriba hacia abajo, de izquierda a derecha.
Aquí ves cómo resolver un problema típico de examen. Cuando te dan una matriz definida por una regla, solo tienes que aplicar la fórmula a cada posición.
En este caso, A = (aij)3×4 con la regla: si i ≤ j, entonces aij = i+j; si i > j, entonces aij = ij. Solo sustituyes los valores de fila y columna en cada posición.
El truco está en ser sistemático: calcula elemento por elemento y después suma todo. La respuesta correcta es 42, que se obtiene sumando todas las filas.
¡Ojo! En los exámenes, estos ejercicios siempre tienen patrones. Practica identificar las reglas rápidamente.
Las matrices rectangulares tienen diferente número de filas y columnas, como una foto panorámica. Las matrices cuadradas tienen el mismo número de filas y columnas, como un cuadrado perfecto.
En las matrices cuadradas aparecen dos diagonales importantes: la diagonal principal y la diagonal secundaria .
La notación A ∈ ℝ3×4 significa que A es una matriz real de 3 filas y 4 columnas. Es como decir "A pertenece al conjunto de matrices reales de ese tamaño".
¡Recuerda! Las matrices cuadradas son especiales porque solo en ellas puedes hablar de diagonales principales y secundarias.
La matriz nula es como el "cero" de las matrices: todos sus elementos son cero. Puede ser rectangular o cuadrada, y es súper importante en las operaciones.
Una matriz diagonal es cuadrada donde todos los elementos fuera de la diagonal principal son cero. Los elementos de la diagonal pueden ser cualquier número, incluso cero.
La notación diag(3; 0; π) significa una matriz diagonal con esos valores en la diagonal principal. Es una forma rápida de escribir matrices diagonales.
¡Dato curioso! La matriz nula también cuenta como matriz diagonal. ¡Es un caso especial que aparece en exámenes!
Una matriz escalar es diagonal donde todos los elementos de la diagonal principal son el mismo número k. Es como tener "copias" del mismo valor en la diagonal.
La matriz identidad es el caso especial donde k = 1. Se denota con I y es como el "1" de las matrices: súper importante para multiplicaciones.
Las matrices identidad se escriben como I₃, I₄, etc., donde el subíndice indica el orden. Son fundamentales porque no cambian otras matrices al multiplicar.
¡Fundamental! La matriz identidad es tu mejor amiga en álgebra de matrices. Aparece en casi todos los temas avanzados.
Las matrices triangulares superiores tienen todos los elementos debajo de la diagonal principal iguales a cero. Es como si "cortaras" la parte inferior.
Las matrices triangulares inferiores son lo opuesto: todos los elementos arriba de la diagonal principal son cero. Es como "cortar" la parte superior.
Estas matrices son súper útiles para resolver sistemas de ecuaciones y aparecen mucho en problemas de la UNI. Son más fáciles de trabajar que las matrices "normales".
¡Estrategia! Para identificar rápidamente el tipo, solo mira dónde están los ceros: ¿arriba o abajo de la diagonal?
Este problema te muestra cómo usar las propiedades de matrices triangulares para encontrar valores desconocidos. Si una matriz es triangular superior, ciertos elementos DEBEN ser cero.
El truco está en usar las condiciones: z-y=0 nos da z=y, x-z=0 nos da x=z, y así sucesivamente. Al resolver el sistema obtienes x=y=z=1.
Una vez que encuentras los valores, sustituyes en la matriz original y calculas el producto de elementos no nulos. En este caso: 1×2×1×2×1 = 4.
¡Clave del éxito! Siempre usa las propiedades específicas del tipo de matriz. Te ahorra muchísimo tiempo en el examen.
Igualdad de matrices: dos matrices son iguales solo si tienen el mismo orden y todos sus elementos correspondientes son iguales. Es todo o nada.
Adición de matrices: solo puedes sumar matrices del mismo orden, y lo haces elemento por elemento. Es como sumar coordenada por coordenada.
Para que A = B, necesitas que aij = bij para todas las posiciones. En el ejemplo, esto significa m = 7 y n = 3.
¡Importante! No puedes sumar matrices de diferentes tamaños. Es una de las reglas más básicas que siempre se respeta.
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.
¡Sí lo es! Tienes acceso totalmente gratuito a todo el contenido de la app, puedes chatear con otros alumnos y recibir ayuda inmeditamente. Puedes ganar dinero utilizando la aplicación, que te permitirá acceder a determinadas funciones.
App Store
Google Play
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Una increíble aplicación, de verdad. Apareció en el momento en que necesitaba una app que me ayude a organizar mis estudios, al igual que para prepararme para los exámenes. Te da una increíble variedad de estudio que simplemente me encanta. Además de ser una gran ayuda para estudiantes de diferentes grados, como la universidad, lo que más me gusta de esta app es que está para diferentes países.
Bárbara
Chile
Me encantó. La app es superior, buena para los estudiantes. No solo te da las respuestas, sino que también te las explica de una manera asombrosa, lo que hace que entiendas súper rápido. La recomiendo mucho si se te hace difícil comprender las materias que te dejan.
Jennifer
Perú
Muy buena aplicación, da información precisa de lo que se le pide. Es eficiente y, sobre todo, tiene varios intereses a escoger, como por ejemplo, temas sobre el ICFES, temas de bachillerato, entre otros. Excelente app.
Lady
Colombia
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Me costaba demasiado estudiar porque no entiendo cuando me pongo a estudiar, y en los exámenes me iba mal, hasta que me empezaron a aparecer anuncios y la descargué sin tenerle fe. Gracias a esta aplicación, algo que no entendía hace meses y semanas lo entendí. En esta aplicación mis notas mejoraron, y ya no me tengo que preocupar por estudiar.
Antonella
Argentina
¡Excelente! Amé la app. Me parece súper eficiente. Aparte de que enseña mucho, te ayuda en tus problemas personales y te hace resúmenes. Amo. Amé un montón la app. Sirve para cualquier año, desde sexto hasta quinto año. Aparte, hay resúmenes de otras personas. ¡Nonono, loquísimo! Te la recomiendo al 100%. Efectivamente, es un 10/10.
Usuario argentino
iOS.
Excelente experiencia. La aplicación es buenísima, la recomiendo mucho. Es mucho mejor que ChatGPT. Te manda la respuesta de tus búsquedas y, aparte, diapositivas para estudiar. Es magnífica.
Alo
México
¡ME ENCANTA! Todo es muy sencillo de utilizar y aprender. Mi IA es muy buena y los apuntes de los demás estudiantes son súper buenos; explica las cosas súper bien y detalladamente. La amo. Pruébenla.
Kitty
Colombia
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
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Una increíble aplicación, de verdad. Apareció en el momento en que necesitaba una app que me ayude a organizar mis estudios, al igual que para prepararme para los exámenes. Te da una increíble variedad de estudio que simplemente me encanta. Además de ser una gran ayuda para estudiantes de diferentes grados, como la universidad, lo que más me gusta de esta app es que está para diferentes países.
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Muy buena aplicación, da información precisa de lo que se le pide. Es eficiente y, sobre todo, tiene varios intereses a escoger, como por ejemplo, temas sobre el ICFES, temas de bachillerato, entre otros. Excelente app.
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Me costaba demasiado estudiar porque no entiendo cuando me pongo a estudiar, y en los exámenes me iba mal, hasta que me empezaron a aparecer anuncios y la descargué sin tenerle fe. Gracias a esta aplicación, algo que no entendía hace meses y semanas lo entendí. En esta aplicación mis notas mejoraron, y ya no me tengo que preocupar por estudiar.
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sadasdas sadas
@sadasdassadas
¿Sabías que las matrices están en todas partes? Desde los videojuegos hasta los filtros de Instagram, estas estructuras matemáticas organizan información de manera súper eficiente. En este tema vas a dominar todo lo básico sobre matrices que necesitas para el... Mostrar más
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El orden de una matriz te dice cuántas filas y columnas tiene. Por ejemplo, si una matriz tiene 2 filas y 3 columnas, decimos que es de orden 2×3. Es como las coordenadas de tu ubicación: primero filas, después columnas.
La notación general A = (aij)m×n significa que el elemento aij está en la fila i y columna j. Imagínate que cada elemento tiene su "dirección" dentro de la matriz.
¡Tip clave! Siempre recuerda: primero filas, después columnas. Es como leer: de arriba hacia abajo, de izquierda a derecha.
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Aquí ves cómo resolver un problema típico de examen. Cuando te dan una matriz definida por una regla, solo tienes que aplicar la fórmula a cada posición.
En este caso, A = (aij)3×4 con la regla: si i ≤ j, entonces aij = i+j; si i > j, entonces aij = ij. Solo sustituyes los valores de fila y columna en cada posición.
El truco está en ser sistemático: calcula elemento por elemento y después suma todo. La respuesta correcta es 42, que se obtiene sumando todas las filas.
¡Ojo! En los exámenes, estos ejercicios siempre tienen patrones. Practica identificar las reglas rápidamente.
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En las matrices cuadradas aparecen dos diagonales importantes: la diagonal principal y la diagonal secundaria .
La notación A ∈ ℝ3×4 significa que A es una matriz real de 3 filas y 4 columnas. Es como decir "A pertenece al conjunto de matrices reales de ese tamaño".
¡Recuerda! Las matrices cuadradas son especiales porque solo en ellas puedes hablar de diagonales principales y secundarias.
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Una matriz diagonal es cuadrada donde todos los elementos fuera de la diagonal principal son cero. Los elementos de la diagonal pueden ser cualquier número, incluso cero.
La notación diag(3; 0; π) significa una matriz diagonal con esos valores en la diagonal principal. Es una forma rápida de escribir matrices diagonales.
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Las matrices identidad se escriben como I₃, I₄, etc., donde el subíndice indica el orden. Son fundamentales porque no cambian otras matrices al multiplicar.
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Una vez que encuentras los valores, sustituyes en la matriz original y calculas el producto de elementos no nulos. En este caso: 1×2×1×2×1 = 4.
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Para que A = B, necesitas que aij = bij para todas las posiciones. En el ejemplo, esto significa m = 7 y n = 3.
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Una increíble aplicación, de verdad. Apareció en el momento en que necesitaba una app que me ayude a organizar mis estudios, al igual que para prepararme para los exámenes. Te da una increíble variedad de estudio que simplemente me encanta. Además de ser una gran ayuda para estudiantes de diferentes grados, como la universidad, lo que más me gusta de esta app es que está para diferentes países.
Bárbara
Chile
Me encantó. La app es superior, buena para los estudiantes. No solo te da las respuestas, sino que también te las explica de una manera asombrosa, lo que hace que entiendas súper rápido. La recomiendo mucho si se te hace difícil comprender las materias que te dejan.
Jennifer
Perú
Muy buena aplicación, da información precisa de lo que se le pide. Es eficiente y, sobre todo, tiene varios intereses a escoger, como por ejemplo, temas sobre el ICFES, temas de bachillerato, entre otros. Excelente app.
Lady
Colombia
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Me costaba demasiado estudiar porque no entiendo cuando me pongo a estudiar, y en los exámenes me iba mal, hasta que me empezaron a aparecer anuncios y la descargué sin tenerle fe. Gracias a esta aplicación, algo que no entendía hace meses y semanas lo entendí. En esta aplicación mis notas mejoraron, y ya no me tengo que preocupar por estudiar.
Antonella
Argentina
¡Excelente! Amé la app. Me parece súper eficiente. Aparte de que enseña mucho, te ayuda en tus problemas personales y te hace resúmenes. Amo. Amé un montón la app. Sirve para cualquier año, desde sexto hasta quinto año. Aparte, hay resúmenes de otras personas. ¡Nonono, loquísimo! Te la recomiendo al 100%. Efectivamente, es un 10/10.
Usuario argentino
iOS.
Excelente experiencia. La aplicación es buenísima, la recomiendo mucho. Es mucho mejor que ChatGPT. Te manda la respuesta de tus búsquedas y, aparte, diapositivas para estudiar. Es magnífica.
Alo
México
¡ME ENCANTA! Todo es muy sencillo de utilizar y aprender. Mi IA es muy buena y los apuntes de los demás estudiantes son súper buenos; explica las cosas súper bien y detalladamente. La amo. Pruébenla.
Kitty
Colombia
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Me encantó. La app es superior, buena para los estudiantes. No solo te da las respuestas, sino que también te las explica de una manera asombrosa, lo que hace que entiendas súper rápido. La recomiendo mucho si se te hace difícil comprender las materias que te dejan.
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