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sadasdas sadas
12/12/2025
Matemáticas
GRAFICA DE FUNCIONES NOTABLES
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12 dic. 2025
•
sadasdas sadas
@sadasdassadas
Las funciones son herramientas matemáticas que te van a acompañar... Mostrar más
¿Alguna vez te preguntaste por qué las pelotas siguen esa curva perfecta cuando las lanzas? Esa es una función cuadrática en acción. Su forma general es f(x) = ax² + bx + c donde a ≠ 0.
La clave para graficar está en encontrar el vértice V(h,k). Usa la fórmula h = -b/2a para la coordenada x, y luego k = f(h) para la coordenada y. Si a > 0, la parábola abre hacia arriba (tiene un valor mínimo). Si a < 0, abre hacia abajo (tiene un valor máximo).
El dominio siempre es todos los reales, pero el rango depende del vértice. Para a > 0: Rango = .
Tip clave: Cuando tengas las raíces x₁ y x₂, el vértice está justo en el medio: h = /2
Imagínate que eres comentarista deportivo y necesitas calcular la altura máxima de un despeje. Con f(x) = -1/80 x² + ax + b, donde el balón impacta 40m adelante, tienes todo lo que necesitas para resolver este problema real.
Para encontrar la altura máxima, solo necesitas hallar el vértice de la parábola. Como el coeficiente de x² es negativo (-1/80), la parábola abre hacia abajo, así que el vértice te dará el punto más alto de la trayectoria.
Este tipo de problemas aparecen constantemente en física y en la vida real. Una vez que domines el patrón, podrás aplicarlo desde lanzar proyectiles hasta optimizar ganancias en economía.
Conexión real: Los ingenieros usan estas mismas fórmulas para diseñar fuentes de agua y calcular trayectorias de cohetes.
El discriminante Δ = b² - 4ac es como tu detector de raíces. Te dice exactamente qué esperar antes de hacer cualquier cálculo complicado.
Cuando Δ > 0: tienes dos raíces reales diferentes y la parábola corta el eje x en dos puntos. Si Δ = 0: una raíz doble, la parábola apenas toca el eje x. Con Δ < 0: no hay raíces reales, la parábola nunca toca el eje x.
La simetría de la parábola es tu mejor aliado. Una línea vertical que pasa por el vértice divide la gráfica en dos partes idénticas. Esto significa que si conoces un punto, automáticamente conoces su reflejo del otro lado.
Estrategia de examen: Siempre calcula el discriminante primero; te ahorrará tiempo y te dará una idea clara de cómo se ve la gráfica.
Las funciones de valor absoluto crean esas gráficas en forma de V que probablemente has visto mil veces. Su forma general es f(x) = a|x - h| + k, donde el vértice está en V(h,k).
Si a > 0, la V abre hacia arriba. Si a < 0, abre hacia abajo como una V invertida. El valor de |a| controla qué tan "abierta" o "cerrada" está la V - mientras mayor sea |a|, más cerrada se ve.
Para graficar f(x) = 2|x - 1| - 3, identifica que h = 1 y k = -3, entonces el vértice está en (1, -3). Como a = 2 > 0, la V abre hacia arriba y es más cerrada que la función básica |x|.
Truco visual: Si a = ±1, los brazos de la V forman un ángulo de 90°. Cualquier otro valor de a cambia este ángulo.
La función f(x) = 1/x es única porque nunca toca los ejes. Su gráfica se llama hipérbola equilátera y tiene una forma muy característica que debes reconocer al instante.
Los ejes X e Y actúan como asíntotas - líneas que la función se acerca pero nunca toca. Por eso el dominio excluye x = 0 y el rango excluye y = 0. La función tiene dos ramas separadas: una en el primer cuadrante y otra en el tercero.
Las transformaciones siguen patrones predecibles. En f(x) = 1/, la hipérbola se desplaza 2 unidades a la derecha. Con f(x) = -1/, además se refleja respecto al eje x.
Dato curioso: Esta función modela muchos fenómenos reales como la relación entre velocidad y tiempo en viajes de distancia fija.
Las funciones racionales tienen la forma f(x) = / y son como las funciones de inverso multiplicativo, pero más sofisticadas. También tienen hipérbolas, pero desplazadas del origen.
Cada función racional tiene dos asíntotas que debes identificar rápidamente. La asíntota vertical está en x = -d/c (donde el denominador se hace cero). La asíntota horizontal está en y = a/c (el comportamiento cuando x tiende a infinito).
Para graficar, marca primero las asíntotas - estas son como las "fronteras" que la función nunca cruza. Luego ubica algunos puntos clave y conecta las curvas respetando siempre estas fronteras invisibles.
Método rápido: Las asíntotas dividen el plano en cuatro regiones. La función tendrá una rama en dos de estas regiones opuestas.
Las funciones potenciales f(x) = xⁿ son las más directas de todas. Su comportamiento depende completamente de si el exponente n es par o impar.
Con n par: la gráfica es simétrica respecto al eje y (como una U). Mientras mayor sea n, más plana cerca del origen y más empinada lejos de él. Ejemplos: x², x⁴, x⁶.
Con n impar: la gráfica es simétrica respecto al origen y siempre creciente. También se vuelve más plana cerca del origen conforme n aumenta. Ejemplos: x³, x⁵, x⁷.
Patrón clave: Todas pasan por (-1, -1ⁿ), (0, 0) y (1, 1). Este trío de puntos te ayuda a esbozar cualquier función potencial rápidamente.
Las funciones polinomiales P(x) = a... son como una combinación de todo lo que has aprendido. Su comportamiento global depende del grado n y el coeficiente principal a.
El truco está en los extremos: si n es par, ambos extremos van en la misma dirección (arriba si a > 0, abajo si a < 0). Si n es impar, van en direcciones opuestas (si a > 0, baja por la izquierda y sube por la derecha).
Entre las raíces, la función alterna entre positiva y negativa. Esto significa que si conoces dónde cruza el eje x, puedes predecir los intervalos donde es positiva o negativa sin hacer cálculos complicados.
Estrategia visual: Empieza graficando desde la izquierda con el comportamiento correcto, marca las raíces, y conecta alternando signos hasta llegar al comportamiento correcto de la derecha.
La multiplicidad de una raíz te dice exactamente cómo se comporta la función en ese punto. Si P(x) tiene un factor ᵏ, entonces k es la multiplicidad de la raíz a.
Con multiplicidad par: la función "rebota" en el eje x sin cruzarlo, como si fuera un trampolín. Con multiplicidad impar: la función cruza el eje x, pero puede hacerlo de forma más suave si k > 1.
Para f(x) = 2², tienes raíces en x = -2 (simple), x = 1 (simple), y x = 3 (doble). Las raíces simples cruzan el eje normalmente, pero en x = 3 la función rebota sin cruzar.
Tip de graficación: La multiplicidad total te dice cuántas veces puede "cambiar de dirección" la función. Úsalo para verificar que tu gráfica sea coherente.
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.
¡Sí lo es! Tienes acceso totalmente gratuito a todo el contenido de la app, puedes chatear con otros alumnos y recibir ayuda inmeditamente. Puedes ganar dinero utilizando la aplicación, que te permitirá acceder a determinadas funciones.
App Store
Google Play
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Una increíble aplicación, de verdad. Apareció en el momento en que necesitaba una app que me ayude a organizar mis estudios, al igual que para prepararme para los exámenes. Te da una increíble variedad de estudio que simplemente me encanta. Además de ser una gran ayuda para estudiantes de diferentes grados, como la universidad, lo que más me gusta de esta app es que está para diferentes países.
Bárbara
Chile
Me encantó. La app es superior, buena para los estudiantes. No solo te da las respuestas, sino que también te las explica de una manera asombrosa, lo que hace que entiendas súper rápido. La recomiendo mucho si se te hace difícil comprender las materias que te dejan.
Jennifer
Perú
Muy buena aplicación, da información precisa de lo que se le pide. Es eficiente y, sobre todo, tiene varios intereses a escoger, como por ejemplo, temas sobre el ICFES, temas de bachillerato, entre otros. Excelente app.
Lady
Colombia
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Me costaba demasiado estudiar porque no entiendo cuando me pongo a estudiar, y en los exámenes me iba mal, hasta que me empezaron a aparecer anuncios y la descargué sin tenerle fe. Gracias a esta aplicación, algo que no entendía hace meses y semanas lo entendí. En esta aplicación mis notas mejoraron, y ya no me tengo que preocupar por estudiar.
Antonella
Argentina
¡Excelente! Amé la app. Me parece súper eficiente. Aparte de que enseña mucho, te ayuda en tus problemas personales y te hace resúmenes. Amo. Amé un montón la app. Sirve para cualquier año, desde sexto hasta quinto año. Aparte, hay resúmenes de otras personas. ¡Nonono, loquísimo! Te la recomiendo al 100%. Efectivamente, es un 10/10.
Usuario argentino
iOS.
Excelente experiencia. La aplicación es buenísima, la recomiendo mucho. Es mucho mejor que ChatGPT. Te manda la respuesta de tus búsquedas y, aparte, diapositivas para estudiar. Es magnífica.
Alo
México
¡ME ENCANTA! Todo es muy sencillo de utilizar y aprender. Mi IA es muy buena y los apuntes de los demás estudiantes son súper buenos; explica las cosas súper bien y detalladamente. La amo. Pruébenla.
Kitty
Colombia
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Una increíble aplicación, de verdad. Apareció en el momento en que necesitaba una app que me ayude a organizar mis estudios, al igual que para prepararme para los exámenes. Te da una increíble variedad de estudio que simplemente me encanta. Además de ser una gran ayuda para estudiantes de diferentes grados, como la universidad, lo que más me gusta de esta app es que está para diferentes países.
Bárbara
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Me encantó. La app es superior, buena para los estudiantes. No solo te da las respuestas, sino que también te las explica de una manera asombrosa, lo que hace que entiendas súper rápido. La recomiendo mucho si se te hace difícil comprender las materias que te dejan.
Jennifer
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Muy buena aplicación, da información precisa de lo que se le pide. Es eficiente y, sobre todo, tiene varios intereses a escoger, como por ejemplo, temas sobre el ICFES, temas de bachillerato, entre otros. Excelente app.
Lady
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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
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Me costaba demasiado estudiar porque no entiendo cuando me pongo a estudiar, y en los exámenes me iba mal, hasta que me empezaron a aparecer anuncios y la descargué sin tenerle fe. Gracias a esta aplicación, algo que no entendía hace meses y semanas lo entendí. En esta aplicación mis notas mejoraron, y ya no me tengo que preocupar por estudiar.
Antonella
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¡Excelente! Amé la app. Me parece súper eficiente. Aparte de que enseña mucho, te ayuda en tus problemas personales y te hace resúmenes. Amo. Amé un montón la app. Sirve para cualquier año, desde sexto hasta quinto año. Aparte, hay resúmenes de otras personas. ¡Nonono, loquísimo! Te la recomiendo al 100%. Efectivamente, es un 10/10.
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Excelente experiencia. La aplicación es buenísima, la recomiendo mucho. Es mucho mejor que ChatGPT. Te manda la respuesta de tus búsquedas y, aparte, diapositivas para estudiar. Es magnífica.
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¡ME ENCANTA! Todo es muy sencillo de utilizar y aprender. Mi IA es muy buena y los apuntes de los demás estudiantes son súper buenos; explica las cosas súper bien y detalladamente. La amo. Pruébenla.
Kitty
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sadasdas sadas
@sadasdassadas
Las funciones son herramientas matemáticas que te van a acompañar toda la vida, desde calcular trayectorias en física hasta modelar problemas reales. Aquí vas a dominar los tipos más importantes: cuadráticas, valor absoluto, racionales y polinomiales, con técnicas prácticas para... Mostrar más
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¿Alguna vez te preguntaste por qué las pelotas siguen esa curva perfecta cuando las lanzas? Esa es una función cuadrática en acción. Su forma general es f(x) = ax² + bx + c donde a ≠ 0.
La clave para graficar está en encontrar el vértice V(h,k). Usa la fórmula h = -b/2a para la coordenada x, y luego k = f(h) para la coordenada y. Si a > 0, la parábola abre hacia arriba (tiene un valor mínimo). Si a < 0, abre hacia abajo (tiene un valor máximo).
El dominio siempre es todos los reales, pero el rango depende del vértice. Para a > 0: Rango = .
Tip clave: Cuando tengas las raíces x₁ y x₂, el vértice está justo en el medio: h = /2
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Para encontrar la altura máxima, solo necesitas hallar el vértice de la parábola. Como el coeficiente de x² es negativo (-1/80), la parábola abre hacia abajo, así que el vértice te dará el punto más alto de la trayectoria.
Este tipo de problemas aparecen constantemente en física y en la vida real. Una vez que domines el patrón, podrás aplicarlo desde lanzar proyectiles hasta optimizar ganancias en economía.
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Cuando Δ > 0: tienes dos raíces reales diferentes y la parábola corta el eje x en dos puntos. Si Δ = 0: una raíz doble, la parábola apenas toca el eje x. Con Δ < 0: no hay raíces reales, la parábola nunca toca el eje x.
La simetría de la parábola es tu mejor aliado. Una línea vertical que pasa por el vértice divide la gráfica en dos partes idénticas. Esto significa que si conoces un punto, automáticamente conoces su reflejo del otro lado.
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Si a > 0, la V abre hacia arriba. Si a < 0, abre hacia abajo como una V invertida. El valor de |a| controla qué tan "abierta" o "cerrada" está la V - mientras mayor sea |a|, más cerrada se ve.
Para graficar f(x) = 2|x - 1| - 3, identifica que h = 1 y k = -3, entonces el vértice está en (1, -3). Como a = 2 > 0, la V abre hacia arriba y es más cerrada que la función básica |x|.
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Los ejes X e Y actúan como asíntotas - líneas que la función se acerca pero nunca toca. Por eso el dominio excluye x = 0 y el rango excluye y = 0. La función tiene dos ramas separadas: una en el primer cuadrante y otra en el tercero.
Las transformaciones siguen patrones predecibles. En f(x) = 1/, la hipérbola se desplaza 2 unidades a la derecha. Con f(x) = -1/, además se refleja respecto al eje x.
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Para graficar, marca primero las asíntotas - estas son como las "fronteras" que la función nunca cruza. Luego ubica algunos puntos clave y conecta las curvas respetando siempre estas fronteras invisibles.
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Con n par: la gráfica es simétrica respecto al eje y (como una U). Mientras mayor sea n, más plana cerca del origen y más empinada lejos de él. Ejemplos: x², x⁴, x⁶.
Con n impar: la gráfica es simétrica respecto al origen y siempre creciente. También se vuelve más plana cerca del origen conforme n aumenta. Ejemplos: x³, x⁵, x⁷.
Patrón clave: Todas pasan por (-1, -1ⁿ), (0, 0) y (1, 1). Este trío de puntos te ayuda a esbozar cualquier función potencial rápidamente.
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El truco está en los extremos: si n es par, ambos extremos van en la misma dirección (arriba si a > 0, abajo si a < 0). Si n es impar, van en direcciones opuestas (si a > 0, baja por la izquierda y sube por la derecha).
Entre las raíces, la función alterna entre positiva y negativa. Esto significa que si conoces dónde cruza el eje x, puedes predecir los intervalos donde es positiva o negativa sin hacer cálculos complicados.
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La multiplicidad de una raíz te dice exactamente cómo se comporta la función en ese punto. Si P(x) tiene un factor ᵏ, entonces k es la multiplicidad de la raíz a.
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Para f(x) = 2², tienes raíces en x = -2 (simple), x = 1 (simple), y x = 3 (doble). Las raíces simples cruzan el eje normalmente, pero en x = 3 la función rebota sin cruzar.
Tip de graficación: La multiplicidad total te dice cuántas veces puede "cambiar de dirección" la función. Úsalo para verificar que tu gráfica sea coherente.
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Una increíble aplicación, de verdad. Apareció en el momento en que necesitaba una app que me ayude a organizar mis estudios, al igual que para prepararme para los exámenes. Te da una increíble variedad de estudio que simplemente me encanta. Además de ser una gran ayuda para estudiantes de diferentes grados, como la universidad, lo que más me gusta de esta app es que está para diferentes países.
Bárbara
Chile
Me encantó. La app es superior, buena para los estudiantes. No solo te da las respuestas, sino que también te las explica de una manera asombrosa, lo que hace que entiendas súper rápido. La recomiendo mucho si se te hace difícil comprender las materias que te dejan.
Jennifer
Perú
Muy buena aplicación, da información precisa de lo que se le pide. Es eficiente y, sobre todo, tiene varios intereses a escoger, como por ejemplo, temas sobre el ICFES, temas de bachillerato, entre otros. Excelente app.
Lady
Colombia
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Me costaba demasiado estudiar porque no entiendo cuando me pongo a estudiar, y en los exámenes me iba mal, hasta que me empezaron a aparecer anuncios y la descargué sin tenerle fe. Gracias a esta aplicación, algo que no entendía hace meses y semanas lo entendí. En esta aplicación mis notas mejoraron, y ya no me tengo que preocupar por estudiar.
Antonella
Argentina
¡Excelente! Amé la app. Me parece súper eficiente. Aparte de que enseña mucho, te ayuda en tus problemas personales y te hace resúmenes. Amo. Amé un montón la app. Sirve para cualquier año, desde sexto hasta quinto año. Aparte, hay resúmenes de otras personas. ¡Nonono, loquísimo! Te la recomiendo al 100%. Efectivamente, es un 10/10.
Usuario argentino
iOS.
Excelente experiencia. La aplicación es buenísima, la recomiendo mucho. Es mucho mejor que ChatGPT. Te manda la respuesta de tus búsquedas y, aparte, diapositivas para estudiar. Es magnífica.
Alo
México
¡ME ENCANTA! Todo es muy sencillo de utilizar y aprender. Mi IA es muy buena y los apuntes de los demás estudiantes son súper buenos; explica las cosas súper bien y detalladamente. La amo. Pruébenla.
Kitty
Colombia
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Pablo
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Elena
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Muy buena aplicación, da información precisa de lo que se le pide. Es eficiente y, sobre todo, tiene varios intereses a escoger, como por ejemplo, temas sobre el ICFES, temas de bachillerato, entre otros. Excelente app.
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Me costaba demasiado estudiar porque no entiendo cuando me pongo a estudiar, y en los exámenes me iba mal, hasta que me empezaron a aparecer anuncios y la descargué sin tenerle fe. Gracias a esta aplicación, algo que no entendía hace meses y semanas lo entendí. En esta aplicación mis notas mejoraron, y ya no me tengo que preocupar por estudiar.
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