Matemáticas
11 dic. 2025
12
26 páginas
sadasdas sadas @sadasdassadas
¿Te has preguntado cómo se calculan las distancias más cortas entre líneas que no se tocan en el... Mostrar más
Este material corresponde a la Semana 13 del ciclo preuniversitario 2024-1 de la Universidad Nacional de Ingeniería. El tema central es la distancia entre rectas cruzadas en geometría espacial.
Esta es una de las áreas más importantes de la geometría tridimensional que necesitarás dominar para tu examen de admisión. Los conceptos aquí te preparan para problemas más avanzados en ingeniería y matemáticas superiores.
Imagínate que tienes una linterna apuntando perpendicularmente a una pared desde un punto cualquiera. La proyección ortogonal es exactamente donde la sombra del punto toca la pared.
Cuando tienes un punto A fuera de un plano P, su proyección ortogonal A' se obtiene trazando una línea perpendicular desde A hasta que toque el plano. El punto donde se intersectan es A', y la línea AA' se llama proyectante.
💡 Tip clave La proyección siempre es la distancia más corta entre el punto y el plano.
Este concepto es fundamental porque te permite calcular distancias reales en problemas tridimensionales complejos.
Ahora vas un paso más allá en lugar de proyectar un punto, proyectas todo un segmento. La proyección de un segmento se forma conectando las proyecciones de todos sus puntos sobre el plano.
Hay casos especiales que debes memorizar si el segmento es paralelo al plano, su proyección mantiene la misma longitud . Si el segmento es perpendicular al plano, su proyección se reduce a un solo punto.
💡 Regla de oro La proyección siempre es menor o igual que el segmento original.
Esta técnica te permitirá resolver problemas complejos de distancias y ángulos en el espacio tridimensional.
Este problema es típico de los exámenes UNI un segmento AB se proyecta sobre un plano P (15 u) y sobre una recta L perpendicular a P (8 u). Necesitas encontrar la longitud real de AB.
La clave está en visualizar que estas proyecciones forman un triángulo rectángulo donde AB es la hipotenusa. Las proyecciones de 15 u y 8 u son los catetos.
💡 Estrategia ganadora Siempre busca triángulos rectángulos en problemas de proyecciones.
Este tipo de ejercicio aparece frecuentemente en admisión porque combina geometría espacial con trigonometría básica.
La solución usa el teorema de Pitágoras de manera inteligente. Al proyectar el segmento AB sobre el plano P y la recta L, creates un sistema tridimensional que se puede resolver en 2D.
Formas rectángulos auxiliares donde las proyecciones (15 u y 8 u) actúan como catetos. En el triángulo ATB x² = 8² + 15² = 64 + 225 = 289, por lo tanto x = 17.
💡 Técnica profesional Dibuja siempre los rectángulos auxiliares para visualizar mejor el problema.
Esta metodología te funcionará en el 90% de problemas similares que encuentres en tu examen.
Las rectas se comportan diferente que los puntos al proyectarse. Una recta completa puede proyectarse como otra recta, una recta paralela, o incluso un punto según su orientación.
Si la recta L intersecta el plano P en el punto Q, su proyección L' pasa por ese mismo punto. Si L es paralela a P, entonces L' también es paralela a L. Si L es perpendicular a P, su proyección se convierte en un solo punto.
💡 Visualización clave Piensa en la sombra que haría una varilla bajo luz solar perpendicular.
Estos conceptos son esenciales para entender las relaciones espaciales entre rectas y planos en problemas avanzados.
Este ejercicio típico de admisión evalúa tu comprensión conceptual profunda. Debes analizar tres proposiciones sobre proyecciones ortogonales y determinar su veracidad.
La trampa común es asumir que las proyecciones mantienen todas las propiedades del objeto original. Por ejemplo, un segmento no siempre se proyecta como otro segmento (puede ser un punto si es perpendicular al plano).
💡 Error frecuente No todos los estudiantes consideran los casos extremos como rectas perpendiculares al plano.
Esta pregunta distingue a estudiantes que realmente entienden los conceptos de aquellos que solo memorizan fórmulas.
La respuesta correcta es FFF (todas falsas). Esto sorprende a muchos estudiantes que no consideran casos especiales como rectas perpendiculares al plano.
La proposición I es falsa porque un segmento perpendicular al plano se proyecta como un punto, no como otro segmento. La proposición II falla porque rectas cruzadas pueden tener proyecciones secantes. La proposición III es incorrecta porque una poligonal general no se proyecta necesariamente como un segmento.
💡 Consejo de oro Siempre considera los casos extremos (perpendicular, paralelo) antes de responder.
Este tipo de análisis crítico es exactamente lo que buscan en estudiantes de ingeniería.
El ángulo entre una recta y un plano no es lo que podrías intuir inicialmente. Se define como el ángulo entre la recta original y su proyección ortogonal sobre el plano.
Si tienes una recta L que intersecta un plano P, primero proyectas L sobre P para obtener L'. El ángulo que buscas es el formado entre L y L', no entre L y el plano directamente.
💡 Visualización práctica Imagínate una rampa (recta) y su sombra en el suelo (proyección). El ángulo entre ambas es lo que necesitas.
Este concepto aparece constantemente en problemas de ingeniería civil y arquitectura para calcular inclinaciones.
Este ejercicio combina proyecciones ortogonales con trigonometría. Desde un punto A exterior al plano P, se trazan dos rectas que forman ángulos de 30° y 45° con el plano.
La clave está en usar las definiciones de seno y coseno para relacionar las longitudes. Si AM = k y forma 30° con el plano, puedes establecer relaciones trigonométricas para encontrar AN.
💡 Estrategia experta Siempre identifica primero qué información trigonométrica puedes extraer de los ángulos dados.
Problemas así demuestran cómo la geometría espacial se conecta perfectamente con la trigonometría que ya conoces.
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Una increíble aplicación, de verdad. Apareció en el momento en que necesitaba una app que me ayude a organizar mis estudios, al igual que para prepararme para los exámenes. Te da una increíble variedad de estudio que simplemente me encanta. Además de ser una gran ayuda para estudiantes de diferentes grados, como la universidad, lo que más me gusta de esta app es que está para diferentes países.
Bárbara
Chile
Me encantó. La app es superior, buena para los estudiantes. No solo te da las respuestas, sino que también te las explica de una manera asombrosa, lo que hace que entiendas súper rápido. La recomiendo mucho si se te hace difícil comprender las materias que te dejan.
Jennifer
Perú
Muy buena aplicación, da información precisa de lo que se le pide. Es eficiente y, sobre todo, tiene varios intereses a escoger, como por ejemplo, temas sobre el ICFES, temas de bachillerato, entre otros. Excelente app.
Lady
Colombia
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Me costaba demasiado estudiar porque no entiendo cuando me pongo a estudiar, y en los exámenes me iba mal, hasta que me empezaron a aparecer anuncios y la descargué sin tenerle fe. Gracias a esta aplicación, algo que no entendía hace meses y semanas lo entendí. En esta aplicación mis notas mejoraron, y ya no me tengo que preocupar por estudiar.
Antonella
Argentina
¡Excelente! Amé la app. Me parece súper eficiente. Aparte de que enseña mucho, te ayuda en tus problemas personales y te hace resúmenes. Amo. Amé un montón la app. Sirve para cualquier año, desde sexto hasta quinto año. Aparte, hay resúmenes de otras personas. ¡Nonono, loquísimo! Te la recomiendo al 100%. Efectivamente, es un 10/10.
Usuario argentino
iOS.
Excelente experiencia. La aplicación es buenísima, la recomiendo mucho. Es mucho mejor que ChatGPT. Te manda la respuesta de tus búsquedas y, aparte, diapositivas para estudiar. Es magnífica.
Alo
México
¡ME ENCANTA! Todo es muy sencillo de utilizar y aprender. Mi IA es muy buena y los apuntes de los demás estudiantes son súper buenos; explica las cosas súper bien y detalladamente. La amo. Pruébenla.
Kitty
Colombia
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
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sadasdas sadas
@sadasdassadas
¿Te has preguntado cómo se calculan las distancias más cortas entre líneas que no se tocan en el espacio? La geometría espacial te ayuda a resolver estos problemas fascinantes que aparecen en arquitectura, ingeniería y muchas aplicaciones del mundo real.
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Este material corresponde a la Semana 13 del ciclo preuniversitario 2024-1 de la Universidad Nacional de Ingeniería. El tema central es la distancia entre rectas cruzadas en geometría espacial.
Esta es una de las áreas más importantes de la geometría tridimensional que necesitarás dominar para tu examen de admisión. Los conceptos aquí te preparan para problemas más avanzados en ingeniería y matemáticas superiores.
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Cuando tienes un punto A fuera de un plano P, su proyección ortogonal A' se obtiene trazando una línea perpendicular desde A hasta que toque el plano. El punto donde se intersectan es A', y la línea AA' se llama proyectante.
💡 Tip clave: La proyección siempre es la distancia más corta entre el punto y el plano.
Este concepto es fundamental porque te permite calcular distancias reales en problemas tridimensionales complejos.
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Ahora vas un paso más allá: en lugar de proyectar un punto, proyectas todo un segmento. La proyección de un segmento se forma conectando las proyecciones de todos sus puntos sobre el plano.
Hay casos especiales que debes memorizar: si el segmento es paralelo al plano, su proyección mantiene la misma longitud . Si el segmento es perpendicular al plano, su proyección se reduce a un solo punto.
💡 Regla de oro: La proyección siempre es menor o igual que el segmento original.
Esta técnica te permitirá resolver problemas complejos de distancias y ángulos en el espacio tridimensional.
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La clave está en visualizar que estas proyecciones forman un triángulo rectángulo donde AB es la hipotenusa. Las proyecciones de 15 u y 8 u son los catetos.
💡 Estrategia ganadora: Siempre busca triángulos rectángulos en problemas de proyecciones.
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Formas rectángulos auxiliares donde las proyecciones (15 u y 8 u) actúan como catetos. En el triángulo ATB: x² = 8² + 15² = 64 + 225 = 289, por lo tanto x = 17.
💡 Técnica profesional: Dibuja siempre los rectángulos auxiliares para visualizar mejor el problema.
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Las rectas se comportan diferente que los puntos al proyectarse. Una recta completa puede proyectarse como otra recta, una recta paralela, o incluso un punto según su orientación.
Si la recta L intersecta el plano P en el punto Q, su proyección L' pasa por ese mismo punto. Si L es paralela a P, entonces L' también es paralela a L. Si L es perpendicular a P, su proyección se convierte en un solo punto.
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Una increíble aplicación, de verdad. Apareció en el momento en que necesitaba una app que me ayude a organizar mis estudios, al igual que para prepararme para los exámenes. Te da una increíble variedad de estudio que simplemente me encanta. Además de ser una gran ayuda para estudiantes de diferentes grados, como la universidad, lo que más me gusta de esta app es que está para diferentes países.
Bárbara
Chile
Me encantó. La app es superior, buena para los estudiantes. No solo te da las respuestas, sino que también te las explica de una manera asombrosa, lo que hace que entiendas súper rápido. La recomiendo mucho si se te hace difícil comprender las materias que te dejan.
Jennifer
Perú
Muy buena aplicación, da información precisa de lo que se le pide. Es eficiente y, sobre todo, tiene varios intereses a escoger, como por ejemplo, temas sobre el ICFES, temas de bachillerato, entre otros. Excelente app.
Lady
Colombia
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Me costaba demasiado estudiar porque no entiendo cuando me pongo a estudiar, y en los exámenes me iba mal, hasta que me empezaron a aparecer anuncios y la descargué sin tenerle fe. Gracias a esta aplicación, algo que no entendía hace meses y semanas lo entendí. En esta aplicación mis notas mejoraron, y ya no me tengo que preocupar por estudiar.
Antonella
Argentina
¡Excelente! Amé la app. Me parece súper eficiente. Aparte de que enseña mucho, te ayuda en tus problemas personales y te hace resúmenes. Amo. Amé un montón la app. Sirve para cualquier año, desde sexto hasta quinto año. Aparte, hay resúmenes de otras personas. ¡Nonono, loquísimo! Te la recomiendo al 100%. Efectivamente, es un 10/10.
Usuario argentino
iOS.
Excelente experiencia. La aplicación es buenísima, la recomiendo mucho. Es mucho mejor que ChatGPT. Te manda la respuesta de tus búsquedas y, aparte, diapositivas para estudiar. Es magnífica.
Alo
México
¡ME ENCANTA! Todo es muy sencillo de utilizar y aprender. Mi IA es muy buena y los apuntes de los demás estudiantes son súper buenos; explica las cosas súper bien y detalladamente. La amo. Pruébenla.
Kitty
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Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
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