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sadasdas sadas
7/12/2025
Matemáticas
DESIGUALDADES
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7 dic. 2025
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sadasdas sadas
@sadasdassadas
Las desigualdades son tu herramienta para comparar números reales y... Mostrar más
¿Sabías que las desigualdades son simplemente formas de comparar números? Usamos símbolos como < (menor que), > (mayor que), ≤ (menor o igual) y ≥ (mayor o igual) para establecer estas relaciones.
Los intervalos son conjuntos de números reales entre dos extremos. Pueden ser acotados (como o no acotados , que se extiende hacia el infinito).
La notación es clave: los paréntesis ( ) excluyen el número, mientras que los corchetes lo incluyen. Por ejemplo, si x ∈ (-3; 9], significa que -3 < x ≤ 9.
Tip: En la recta numérica, visualiza los intervalos como segmentos. Te ayudará a entender mejor las operaciones que vienen después.
Trabajar con intervalos es como hacer operaciones con conjuntos, pero más visual. La unión (A ∪ B) combina todos los elementos de ambos intervalos, mientras que la intersección (A ∩ B) incluye solo los elementos comunes.
La diferencia te da los elementos que están en A pero no en B. Es súper útil cuando necesitas excluir ciertos valores de un conjunto.
El complemento incluye todos los números reales que NO están en el intervalo A. Si tienes B = (-∞; -1], entonces B^c = (-1; +∞).
Consejo: Dibuja siempre los intervalos en la recta numérica. Visualmente es mucho más fácil identificar uniones, intersecciones y complementos.
Los teoremas de desigualdades son las reglas del juego que nunca cambian. Puedes sumar o restar cualquier número a ambos lados de una desigualdad sin problema, pero ¡cuidado al multiplicar o dividir!
Si multiplicas por un número positivo, la desigualdad se mantiene igual. Pero si multiplicas por un número negativo, ¡tienes que voltear el símbolo! Esta es la regla que más estudiantes olvidan.
Cuando sumas desigualdades del mismo sentido, obtienes otra desigualdad válida. Si 0 < a < b y 0 < m < n, entonces 0 < am < bn.
Recuerda: Al multiplicar por números negativos, siempre voltea el símbolo de la desigualdad. Es el error más común en exámenes.
Ahora viene lo divertido: resolver problemas reales con desigualdades. Una técnica genial es la factorización para simplificar expresiones complejas, como convertir xy + 2x + 3y + 6 en .
Para fracciones como F = /, puedes reescribirla como F = 3 + 1/. Esto hace que encontrar la variación sea mucho más sencillo.
El truco está en separar la parte constante de la parte variable. Una vez que identifies el patrón, aplicar los teoremas se vuelve automático.
Estrategia: Siempre intenta factorizar o simplificar las expresiones antes de aplicar los teoremas. Te ahorrará tiempo y errores.
Las funciones cuadráticas tienen comportamientos especiales que debes conocer. Para cualquier número real x, siempre se cumple que x² ≥ 0. Esto es fundamental para encontrar valores máximos y mínimos.
Cuando tienes expresiones como -x² - 6x + 8, completar cuadrados te permite encontrar fácilmente el valor máximo. En este caso, se convierte en -² + 17, con máximo en 17.
Para intervalos con números del mismo signo, las reglas son directas. Pero cuando el intervalo incluye tanto positivos como negativos, x² puede tomar cualquier valor desde 0 hasta el máximo de los cuadrados de los extremos.
Técnica clave: Completar cuadrados es tu mejor aliado para funciones cuadráticas. Practícalo hasta que lo hagas automáticamente.
Las funciones cúbicas mantienen el orden de las desigualdades: si a < x < b, entonces a³ < x³ < b³. Esto las hace más predecibles que las cuadráticas.
Para expresiones como x³ - 3x² + 3x + 2, puedes completar cubos y obtener ³ + 3. Esta transformación te permite encontrar directamente los valores máximo y mínimo en cualquier intervalo.
La clave está en reconocer patrones de trinomios y binomios al cubo. Una vez que domines estas transformaciones, resolver problemas de optimización será pan comido.
Pro tip: Los cubos perfectos conservan el signo y el orden, lo que los hace ideales para problemas de variación en intervalos dados.
Las medias aritmética, geométrica y armónica están relacionadas por una desigualdad fundamental: MA ≥ MG ≥ MH. Esta relación es súper útil en problemas de optimización avanzados.
Una desigualdad clásica que aparece en muchos exámenes es x + 1/x ≥ 2 (para x > 0) y x + 1/x ≤ -2 (para x < 0). Esta surge directamente de la desigualdad de las medias.
Estas desigualdades se vuelven igualdades solo cuando todos los términos son iguales. Es decir, la igualdad se da en casos muy específicos.
Dato importante: Estas desigualdades son fundamentales en cálculo y aparecen frecuentemente en problemas de valores extremos.
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
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¡Sí lo es! Tienes acceso totalmente gratuito a todo el contenido de la app, puedes chatear con otros alumnos y recibir ayuda inmeditamente. Puedes ganar dinero utilizando la aplicación, que te permitirá acceder a determinadas funciones.
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Google Play
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Una increíble aplicación, de verdad. Apareció en el momento en que necesitaba una app que me ayude a organizar mis estudios, al igual que para prepararme para los exámenes. Te da una increíble variedad de estudio que simplemente me encanta. Además de ser una gran ayuda para estudiantes de diferentes grados, como la universidad, lo que más me gusta de esta app es que está para diferentes países.
Bárbara
Chile
Me encantó. La app es superior, buena para los estudiantes. No solo te da las respuestas, sino que también te las explica de una manera asombrosa, lo que hace que entiendas súper rápido. La recomiendo mucho si se te hace difícil comprender las materias que te dejan.
Jennifer
Perú
Muy buena aplicación, da información precisa de lo que se le pide. Es eficiente y, sobre todo, tiene varios intereses a escoger, como por ejemplo, temas sobre el ICFES, temas de bachillerato, entre otros. Excelente app.
Lady
Colombia
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Me costaba demasiado estudiar porque no entiendo cuando me pongo a estudiar, y en los exámenes me iba mal, hasta que me empezaron a aparecer anuncios y la descargué sin tenerle fe. Gracias a esta aplicación, algo que no entendía hace meses y semanas lo entendí. En esta aplicación mis notas mejoraron, y ya no me tengo que preocupar por estudiar.
Antonella
Argentina
¡Excelente! Amé la app. Me parece súper eficiente. Aparte de que enseña mucho, te ayuda en tus problemas personales y te hace resúmenes. Amo. Amé un montón la app. Sirve para cualquier año, desde sexto hasta quinto año. Aparte, hay resúmenes de otras personas. ¡Nonono, loquísimo! Te la recomiendo al 100%. Efectivamente, es un 10/10.
Usuario argentino
iOS.
Excelente experiencia. La aplicación es buenísima, la recomiendo mucho. Es mucho mejor que ChatGPT. Te manda la respuesta de tus búsquedas y, aparte, diapositivas para estudiar. Es magnífica.
Alo
México
¡ME ENCANTA! Todo es muy sencillo de utilizar y aprender. Mi IA es muy buena y los apuntes de los demás estudiantes son súper buenos; explica las cosas súper bien y detalladamente. La amo. Pruébenla.
Kitty
Colombia
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Pablo
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
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Una increíble aplicación, de verdad. Apareció en el momento en que necesitaba una app que me ayude a organizar mis estudios, al igual que para prepararme para los exámenes. Te da una increíble variedad de estudio que simplemente me encanta. Además de ser una gran ayuda para estudiantes de diferentes grados, como la universidad, lo que más me gusta de esta app es que está para diferentes países.
Bárbara
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Me encantó. La app es superior, buena para los estudiantes. No solo te da las respuestas, sino que también te las explica de una manera asombrosa, lo que hace que entiendas súper rápido. La recomiendo mucho si se te hace difícil comprender las materias que te dejan.
Jennifer
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Muy buena aplicación, da información precisa de lo que se le pide. Es eficiente y, sobre todo, tiene varios intereses a escoger, como por ejemplo, temas sobre el ICFES, temas de bachillerato, entre otros. Excelente app.
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Roberto
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Me costaba demasiado estudiar porque no entiendo cuando me pongo a estudiar, y en los exámenes me iba mal, hasta que me empezaron a aparecer anuncios y la descargué sin tenerle fe. Gracias a esta aplicación, algo que no entendía hace meses y semanas lo entendí. En esta aplicación mis notas mejoraron, y ya no me tengo que preocupar por estudiar.
Antonella
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¡Excelente! Amé la app. Me parece súper eficiente. Aparte de que enseña mucho, te ayuda en tus problemas personales y te hace resúmenes. Amo. Amé un montón la app. Sirve para cualquier año, desde sexto hasta quinto año. Aparte, hay resúmenes de otras personas. ¡Nonono, loquísimo! Te la recomiendo al 100%. Efectivamente, es un 10/10.
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Excelente experiencia. La aplicación es buenísima, la recomiendo mucho. Es mucho mejor que ChatGPT. Te manda la respuesta de tus búsquedas y, aparte, diapositivas para estudiar. Es magnífica.
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sadasdas sadas
@sadasdassadas
Las desigualdades son tu herramienta para comparar números reales y trabajar con intervalos. Dominar estos conceptos te va a ayudar un montón en álgebra y cálculo, además de ser súper útil para resolver problemas de optimización.
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¿Sabías que las desigualdades son simplemente formas de comparar números? Usamos símbolos como < (menor que), > (mayor que), ≤ (menor o igual) y ≥ (mayor o igual) para establecer estas relaciones.
Los intervalos son conjuntos de números reales entre dos extremos. Pueden ser acotados (como o no acotados , que se extiende hacia el infinito).
La notación es clave: los paréntesis ( ) excluyen el número, mientras que los corchetes lo incluyen. Por ejemplo, si x ∈ (-3; 9], significa que -3 < x ≤ 9.
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La diferencia te da los elementos que están en A pero no en B. Es súper útil cuando necesitas excluir ciertos valores de un conjunto.
El complemento incluye todos los números reales que NO están en el intervalo A. Si tienes B = (-∞; -1], entonces B^c = (-1; +∞).
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Los teoremas de desigualdades son las reglas del juego que nunca cambian. Puedes sumar o restar cualquier número a ambos lados de una desigualdad sin problema, pero ¡cuidado al multiplicar o dividir!
Si multiplicas por un número positivo, la desigualdad se mantiene igual. Pero si multiplicas por un número negativo, ¡tienes que voltear el símbolo! Esta es la regla que más estudiantes olvidan.
Cuando sumas desigualdades del mismo sentido, obtienes otra desigualdad válida. Si 0 < a < b y 0 < m < n, entonces 0 < am < bn.
Recuerda: Al multiplicar por números negativos, siempre voltea el símbolo de la desigualdad. Es el error más común en exámenes.
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El truco está en separar la parte constante de la parte variable. Una vez que identifies el patrón, aplicar los teoremas se vuelve automático.
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Cuando tienes expresiones como -x² - 6x + 8, completar cuadrados te permite encontrar fácilmente el valor máximo. En este caso, se convierte en -² + 17, con máximo en 17.
Para intervalos con números del mismo signo, las reglas son directas. Pero cuando el intervalo incluye tanto positivos como negativos, x² puede tomar cualquier valor desde 0 hasta el máximo de los cuadrados de los extremos.
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Para expresiones como x³ - 3x² + 3x + 2, puedes completar cubos y obtener ³ + 3. Esta transformación te permite encontrar directamente los valores máximo y mínimo en cualquier intervalo.
La clave está en reconocer patrones de trinomios y binomios al cubo. Una vez que domines estas transformaciones, resolver problemas de optimización será pan comido.
Pro tip: Los cubos perfectos conservan el signo y el orden, lo que los hace ideales para problemas de variación en intervalos dados.
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Las medias aritmética, geométrica y armónica están relacionadas por una desigualdad fundamental: MA ≥ MG ≥ MH. Esta relación es súper útil en problemas de optimización avanzados.
Una desigualdad clásica que aparece en muchos exámenes es x + 1/x ≥ 2 (para x > 0) y x + 1/x ≤ -2 (para x < 0). Esta surge directamente de la desigualdad de las medias.
Estas desigualdades se vuelven igualdades solo cuando todos los términos son iguales. Es decir, la igualdad se da en casos muy específicos.
Dato importante: Estas desigualdades son fundamentales en cálculo y aparecen frecuentemente en problemas de valores extremos.
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Pablo
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Ana
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Bárbara
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Jennifer
Perú
Muy buena aplicación, da información precisa de lo que se le pide. Es eficiente y, sobre todo, tiene varios intereses a escoger, como por ejemplo, temas sobre el ICFES, temas de bachillerato, entre otros. Excelente app.
Lady
Colombia
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
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Me costaba demasiado estudiar porque no entiendo cuando me pongo a estudiar, y en los exámenes me iba mal, hasta que me empezaron a aparecer anuncios y la descargué sin tenerle fe. Gracias a esta aplicación, algo que no entendía hace meses y semanas lo entendí. En esta aplicación mis notas mejoraron, y ya no me tengo que preocupar por estudiar.
Antonella
Argentina
¡Excelente! Amé la app. Me parece súper eficiente. Aparte de que enseña mucho, te ayuda en tus problemas personales y te hace resúmenes. Amo. Amé un montón la app. Sirve para cualquier año, desde sexto hasta quinto año. Aparte, hay resúmenes de otras personas. ¡Nonono, loquísimo! Te la recomiendo al 100%. Efectivamente, es un 10/10.
Usuario argentino
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Excelente experiencia. La aplicación es buenísima, la recomiendo mucho. Es mucho mejor que ChatGPT. Te manda la respuesta de tus búsquedas y, aparte, diapositivas para estudiar. Es magnífica.
Alo
México
¡ME ENCANTA! Todo es muy sencillo de utilizar y aprender. Mi IA es muy buena y los apuntes de los demás estudiantes son súper buenos; explica las cosas súper bien y detalladamente. La amo. Pruébenla.
Kitty
Colombia
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
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