Matemáticas
10 dic. 2025
144
12 páginas
sadasdas sadas @sadasdassadas
Los principios y técnicas de conteo son herramientas matemáticas que te permiten calcular cuántas maneras diferentes puede ocurrir... Mostrar más
¿Alguna vez te has preguntado cuántas opciones tienes para almorzar cuando hay varios restaurantes disponibles? El principio de adición te ayuda a resolver esto fácilmente.
Cuando tienes dos eventos que no pueden ocurrir al mismo tiempo, simplemente sumas las posibilidades. Si el evento A puede ocurrir de "m" maneras y el evento B de "n" maneras, entonces tienes m + n maneras totales de que ocurra uno u otro.
Por ejemplo, si Juan quiere viajar de Lima a Tacna y tiene 5 líneas aéreas y 12 líneas terrestres, tiene 5 + 12 = 17 formas diferentes de viajar. Lo mismo pasa con los menús si tres restaurantes ofrecen 4, 5 y 7 menús respectivamente, tienes 4 + 5 + 7 = 16 opciones para elegir tu almuerzo.
Tip clave Usa adición cuando se trata de elegir "esto O aquello", nunca ambos al mismo tiempo.
Ahora imagina que Ana tiene una entrevista de trabajo y debe elegir blusa Y pantalón. Aquí entra el principio de multiplicación, perfecto para cuando los eventos ocurren juntos.
Si el evento A ocurre de "m" maneras y para cada una de estas el evento B ocurre de "n" maneras, entonces ambos eventos juntos pueden ocurrir de m × n maneras. Ana con 4 blusas y 6 pantalones tiene 4 × 6 = 24 combinaciones diferentes para vestirse.
Este principio también funciona con más de dos eventos. Si Óscar reparte una mochila, una tablet y un celular entre sus dos hermanos, cada objeto puede ir a cualquiera de los 2 hermanos, dando 2 × 2 × 2 = 8 maneras de repartir todo.
Recuerda Multiplicación es para "esto Y aquello", cuando necesitas que ocurran ambas cosas.
Cuando el orden sí importa, las permutaciones lineales son tu mejor aliado. Piensa en formar una fila para una foto cambiar el orden de las personas crea una foto completamente diferente.
La fórmula es P(n,r) = n!/!, donde n es el total de elementos y r es cuántos tomas. Si quieres ordenar todos los elementos disponibles, simplemente usas P(n,n) = n! (n factorial).
Por ejemplo, para ordenar 7 personas en una fila donde las 3 mujeres deben estar juntas, primero tratas a las mujeres como un solo grupo. Entonces tienes 5 unidades para ordenar , y dentro del grupo las 3 mujeres se pueden ordenar entre sí.
Dato curioso En algunos libros encontrarás este concepto como "variaciones" en lugar de permutaciones.
¿Qué pasa cuando organizas personas alrededor de una mesa redonda? Las permutaciones circulares tienen una característica especial no hay un punto de inicio fijo.
Como no existe un "primer lugar" en un círculo, fijas una persona como referencia y ordenas el resto alrededor de ella. Por eso la fórmula es P_c(n) = ! - uno menos que en las permutaciones lineales.
Esta técnica es útil para reuniones, juegos de mesa, o cualquier situación donde los elementos se organizan en forma cerrada. La diferencia con las permutaciones lineales es crucial en un círculo, rotar a todos una posición no crea un arreglo nuevo.
Tip importante Siempre resta 1 del factorial porque fijas un elemento como punto de referencia.
A veces tienes elementos idénticos que no se pueden distinguir entre sí. Las permutaciones con repetición manejan estos casos especiales donde algunos objetos son exactamente iguales.
La fórmula es P_(p;q)^n = n!/(p! × q!), donde p y q representan las cantidades de cada tipo de elemento repetido. Divides por los factoriales de las repeticiones porque intercambiar elementos idénticos no crea un arreglo diferente.
Por ejemplo, para ordenar 3 columpios iguales y 2 casitas iguales para hámster, usas P_(3;2)^5 = 5!/(3! × 2!) = 120/12 = 10 maneras. Sin esta corrección, estarías contando arreglos que en realidad son idénticos.
Recuerda Divide siempre por el factorial de cada grupo de elementos repetidos para evitar sobrecontar.
La técnica de separadores es genial para problemas de distribución donde necesitas repartir objetos idénticos en diferentes categorías. Es como organizar caramelos por sabores usando palitos separadores.
Imagina que José compra 5 chicles eligiendo entre 3 sabores. Puedes representar esto con esferas (chicles) y barras verticales (separadores entre sabores). Cada arreglo de 5 esferas y 2 separadores representa una forma única de comprar.
El problema se convierte en ordenar elementos repetidos 5 esferas idénticas y 2 separadores idénticos. Usando P_(5;2)^7 = 7!/(5! × 2!) = 21, José tiene 21 formas diferentes de comprar sus chicles.
Visualización clave Piensa en las esferas como objetos y las barras como divisiones entre categorías.
Los separadores también resuelven ecuaciones con variables enteras positivas. Para a + b + c = 10 con restricciones específicas, transformas el problema en uno de distribución.
Cuando tienes restricciones como b > 2, primero ajustas la ecuación. Si b debe ser mayor que 2, defines b' = b - 2, donde b' ≥ 1. Esto te permite trabajar con la forma estándar de variables positivas.
La técnica convierte problemas algebraicos complejos en conteos simples. Cada solución de la ecuación corresponde a una forma de distribuir objetos idénticos en categorías, usando la fórmula de permutaciones con repetición.
Estrategia Siempre ajusta las variables con restricciones antes de aplicar separadores.
Para resolver A + B + C + D = 10 donde todas las variables son enteros positivos, usas 10 círculos (representando el valor total) y 3 separadores (para dividir en 4 variables).
El total de objetos es 10 + 3 = 13, donde 10 son idénticos (círculos) y 3 son idénticos (separadores). Aplicando permutaciones con repetición P_(10;3)^13 = 13!/(10! × 3!) = 286.
Este método transforma problemas de ecuaciones diofánticas en ejercicios de conteo visual. Cada arreglo de círculos y separadores representa una solución única de la ecuación original.
Fórmula general Para n objetos en k categorías, necesitas n círculos y separadores.
Las combinaciones son perfectas cuando el orden NO importa. Si llegan tarde 5 estudiantes y solo pueden pasar 3, no importa en qué orden los elijas {Abel, Benito, Carlos} es igual que {Carlos, Abel, Benito}.
La diferencia con las permutaciones es fundamental en combinaciones solo te interesa QUÉ elementos eliges, no CÓMO los ordenas. Por eso hay menos combinaciones que permutaciones del mismo conjunto.
Para 5 estudiantes tomados de 3 en 3, usas C_3^5 = 5!/(3! × 2!) = 10 combinaciones. Puedes verificarlo listando todos los grupos posibles solo hay 10 formas diferentes de elegir 3 estudiantes de 5.
Clave Combinaciones = agrupamiento sin orden. Permutaciones = ordenamiento con secuencia.
Las combinaciones resuelven problemas reales como distribución de vacunas donde solo importa qué lotes envías, no en qué orden. La fórmula C_r^n = n!/ calcula cuántas formas hay de elegir r elementos de n disponibles.
Para enviar 5 lotes de 10 disponibles sin restricciones, tienes C_5^10 = 252 formas. Cuando hay restricciones específicas (como enviar exactamente 3 de Pfizer y 2 de Moderna), multiplicas las combinaciones individuales de cada tipo.
Los problemas complejos se descomponen en combinaciones más simples. Si necesitas "al menos" cierta cantidad, sumas todas las posibilidades que cumplan la condición, desde el mínimo hasta el máximo posible.
Estrategia Descompón problemas complejos en combinaciones simples y luego multiplica o suma según corresponda.
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.
¡Sí lo es! Tienes acceso totalmente gratuito a todo el contenido de la app, puedes chatear con otros alumnos y recibir ayuda inmeditamente. Puedes ganar dinero utilizando la aplicación, que te permitirá acceder a determinadas funciones.
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Una increíble aplicación, de verdad. Apareció en el momento en que necesitaba una app que me ayude a organizar mis estudios, al igual que para prepararme para los exámenes. Te da una increíble variedad de estudio que simplemente me encanta. Además de ser una gran ayuda para estudiantes de diferentes grados, como la universidad, lo que más me gusta de esta app es que está para diferentes países.
Bárbara
Chile
Me encantó. La app es superior, buena para los estudiantes. No solo te da las respuestas, sino que también te las explica de una manera asombrosa, lo que hace que entiendas súper rápido. La recomiendo mucho si se te hace difícil comprender las materias que te dejan.
Jennifer
Perú
Muy buena aplicación, da información precisa de lo que se le pide. Es eficiente y, sobre todo, tiene varios intereses a escoger, como por ejemplo, temas sobre el ICFES, temas de bachillerato, entre otros. Excelente app.
Lady
Colombia
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Me costaba demasiado estudiar porque no entiendo cuando me pongo a estudiar, y en los exámenes me iba mal, hasta que me empezaron a aparecer anuncios y la descargué sin tenerle fe. Gracias a esta aplicación, algo que no entendía hace meses y semanas lo entendí. En esta aplicación mis notas mejoraron, y ya no me tengo que preocupar por estudiar.
Antonella
Argentina
¡Excelente! Amé la app. Me parece súper eficiente. Aparte de que enseña mucho, te ayuda en tus problemas personales y te hace resúmenes. Amo. Amé un montón la app. Sirve para cualquier año, desde sexto hasta quinto año. Aparte, hay resúmenes de otras personas. ¡Nonono, loquísimo! Te la recomiendo al 100%. Efectivamente, es un 10/10.
Usuario argentino
iOS.
Excelente experiencia. La aplicación es buenísima, la recomiendo mucho. Es mucho mejor que ChatGPT. Te manda la respuesta de tus búsquedas y, aparte, diapositivas para estudiar. Es magnífica.
Alo
México
¡ME ENCANTA! Todo es muy sencillo de utilizar y aprender. Mi IA es muy buena y los apuntes de los demás estudiantes son súper buenos; explica las cosas súper bien y detalladamente. La amo. Pruébenla.
Kitty
Colombia
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Una increíble aplicación, de verdad. Apareció en el momento en que necesitaba una app que me ayude a organizar mis estudios, al igual que para prepararme para los exámenes. Te da una increíble variedad de estudio que simplemente me encanta. Además de ser una gran ayuda para estudiantes de diferentes grados, como la universidad, lo que más me gusta de esta app es que está para diferentes países.
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Excelente experiencia. La aplicación es buenísima, la recomiendo mucho. Es mucho mejor que ChatGPT. Te manda la respuesta de tus búsquedas y, aparte, diapositivas para estudiar. Es magnífica.
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sadasdas sadas
@sadasdassadas
Los principios y técnicas de conteo son herramientas matemáticas que te permiten calcular cuántas maneras diferentes puede ocurrir algo sin tener que enumerar todas las posibilidades. Desde decidir cómo vestirte hasta resolver ecuaciones complejas, estos métodos te ahorran tiempo y... Mostrar más
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¿Alguna vez te has preguntado cuántas opciones tienes para almorzar cuando hay varios restaurantes disponibles? El principio de adición te ayuda a resolver esto fácilmente.
Cuando tienes dos eventos que no pueden ocurrir al mismo tiempo, simplemente sumas las posibilidades. Si el evento A puede ocurrir de "m" maneras y el evento B de "n" maneras, entonces tienes m + n maneras totales de que ocurra uno u otro.
Por ejemplo, si Juan quiere viajar de Lima a Tacna y tiene 5 líneas aéreas y 12 líneas terrestres, tiene 5 + 12 = 17 formas diferentes de viajar. Lo mismo pasa con los menús: si tres restaurantes ofrecen 4, 5 y 7 menús respectivamente, tienes 4 + 5 + 7 = 16 opciones para elegir tu almuerzo.
Tip clave: Usa adición cuando se trata de elegir "esto O aquello", nunca ambos al mismo tiempo.
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Si el evento A ocurre de "m" maneras y para cada una de estas el evento B ocurre de "n" maneras, entonces ambos eventos juntos pueden ocurrir de m × n maneras. Ana con 4 blusas y 6 pantalones tiene 4 × 6 = 24 combinaciones diferentes para vestirse.
Este principio también funciona con más de dos eventos. Si Óscar reparte una mochila, una tablet y un celular entre sus dos hermanos, cada objeto puede ir a cualquiera de los 2 hermanos, dando 2 × 2 × 2 = 8 maneras de repartir todo.
Recuerda: Multiplicación es para "esto Y aquello", cuando necesitas que ocurran ambas cosas.
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Cuando el orden sí importa, las permutaciones lineales son tu mejor aliado. Piensa en formar una fila para una foto: cambiar el orden de las personas crea una foto completamente diferente.
La fórmula es P(n,r) = n!/!, donde n es el total de elementos y r es cuántos tomas. Si quieres ordenar todos los elementos disponibles, simplemente usas P(n,n) = n! (n factorial).
Por ejemplo, para ordenar 7 personas en una fila donde las 3 mujeres deben estar juntas, primero tratas a las mujeres como un solo grupo. Entonces tienes 5 unidades para ordenar , y dentro del grupo las 3 mujeres se pueden ordenar entre sí.
Dato curioso: En algunos libros encontrarás este concepto como "variaciones" en lugar de permutaciones.
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Como no existe un "primer lugar" en un círculo, fijas una persona como referencia y ordenas el resto alrededor de ella. Por eso la fórmula es P_c(n) = ! - uno menos que en las permutaciones lineales.
Esta técnica es útil para reuniones, juegos de mesa, o cualquier situación donde los elementos se organizan en forma cerrada. La diferencia con las permutaciones lineales es crucial: en un círculo, rotar a todos una posición no crea un arreglo nuevo.
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A veces tienes elementos idénticos que no se pueden distinguir entre sí. Las permutaciones con repetición manejan estos casos especiales donde algunos objetos son exactamente iguales.
La fórmula es P_(p;q)^n = n!/(p! × q!), donde p y q representan las cantidades de cada tipo de elemento repetido. Divides por los factoriales de las repeticiones porque intercambiar elementos idénticos no crea un arreglo diferente.
Por ejemplo, para ordenar 3 columpios iguales y 2 casitas iguales para hámster, usas P_(3;2)^5 = 5!/(3! × 2!) = 120/12 = 10 maneras. Sin esta corrección, estarías contando arreglos que en realidad son idénticos.
Recuerda: Divide siempre por el factorial de cada grupo de elementos repetidos para evitar sobrecontar.
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Imagina que José compra 5 chicles eligiendo entre 3 sabores. Puedes representar esto con esferas (chicles) y barras verticales (separadores entre sabores). Cada arreglo de 5 esferas y 2 separadores representa una forma única de comprar.
El problema se convierte en ordenar elementos repetidos: 5 esferas idénticas y 2 separadores idénticos. Usando P_(5;2)^7 = 7!/(5! × 2!) = 21, José tiene 21 formas diferentes de comprar sus chicles.
Visualización clave: Piensa en las esferas como objetos y las barras como divisiones entre categorías.
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Los separadores también resuelven ecuaciones con variables enteras positivas. Para a + b + c = 10 con restricciones específicas, transformas el problema en uno de distribución.
Cuando tienes restricciones como b > 2, primero ajustas la ecuación. Si b debe ser mayor que 2, defines b' = b - 2, donde b' ≥ 1. Esto te permite trabajar con la forma estándar de variables positivas.
La técnica convierte problemas algebraicos complejos en conteos simples. Cada solución de la ecuación corresponde a una forma de distribuir objetos idénticos en categorías, usando la fórmula de permutaciones con repetición.
Estrategia: Siempre ajusta las variables con restricciones antes de aplicar separadores.
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El total de objetos es 10 + 3 = 13, donde 10 son idénticos (círculos) y 3 son idénticos (separadores). Aplicando permutaciones con repetición: P_(10;3)^13 = 13!/(10! × 3!) = 286.
Este método transforma problemas de ecuaciones diofánticas en ejercicios de conteo visual. Cada arreglo de círculos y separadores representa una solución única de la ecuación original.
Fórmula general: Para n objetos en k categorías, necesitas n círculos y separadores.
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Las combinaciones son perfectas cuando el orden NO importa. Si llegan tarde 5 estudiantes y solo pueden pasar 3, no importa en qué orden los elijas: {Abel, Benito, Carlos} es igual que {Carlos, Abel, Benito}.
La diferencia con las permutaciones es fundamental: en combinaciones solo te interesa QUÉ elementos eliges, no CÓMO los ordenas. Por eso hay menos combinaciones que permutaciones del mismo conjunto.
Para 5 estudiantes tomados de 3 en 3, usas C_3^5 = 5!/(3! × 2!) = 10 combinaciones. Puedes verificarlo listando todos los grupos posibles: solo hay 10 formas diferentes de elegir 3 estudiantes de 5.
Clave: Combinaciones = agrupamiento sin orden. Permutaciones = ordenamiento con secuencia.
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Los problemas complejos se descomponen en combinaciones más simples. Si necesitas "al menos" cierta cantidad, sumas todas las posibilidades que cumplan la condición, desde el mínimo hasta el máximo posible.
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Una increíble aplicación, de verdad. Apareció en el momento en que necesitaba una app que me ayude a organizar mis estudios, al igual que para prepararme para los exámenes. Te da una increíble variedad de estudio que simplemente me encanta. Además de ser una gran ayuda para estudiantes de diferentes grados, como la universidad, lo que más me gusta de esta app es que está para diferentes países.
Bárbara
Chile
Me encantó. La app es superior, buena para los estudiantes. No solo te da las respuestas, sino que también te las explica de una manera asombrosa, lo que hace que entiendas súper rápido. La recomiendo mucho si se te hace difícil comprender las materias que te dejan.
Jennifer
Perú
Muy buena aplicación, da información precisa de lo que se le pide. Es eficiente y, sobre todo, tiene varios intereses a escoger, como por ejemplo, temas sobre el ICFES, temas de bachillerato, entre otros. Excelente app.
Lady
Colombia
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Me costaba demasiado estudiar porque no entiendo cuando me pongo a estudiar, y en los exámenes me iba mal, hasta que me empezaron a aparecer anuncios y la descargué sin tenerle fe. Gracias a esta aplicación, algo que no entendía hace meses y semanas lo entendí. En esta aplicación mis notas mejoraron, y ya no me tengo que preocupar por estudiar.
Antonella
Argentina
¡Excelente! Amé la app. Me parece súper eficiente. Aparte de que enseña mucho, te ayuda en tus problemas personales y te hace resúmenes. Amo. Amé un montón la app. Sirve para cualquier año, desde sexto hasta quinto año. Aparte, hay resúmenes de otras personas. ¡Nonono, loquísimo! Te la recomiendo al 100%. Efectivamente, es un 10/10.
Usuario argentino
iOS.
Excelente experiencia. La aplicación es buenísima, la recomiendo mucho. Es mucho mejor que ChatGPT. Te manda la respuesta de tus búsquedas y, aparte, diapositivas para estudiar. Es magnífica.
Alo
México
¡ME ENCANTA! Todo es muy sencillo de utilizar y aprender. Mi IA es muy buena y los apuntes de los demás estudiantes son súper buenos; explica las cosas súper bien y detalladamente. La amo. Pruébenla.
Kitty
Colombia
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