Matemáticas
4 dic. 2025
127
34 páginas
Wilman Naveroscabezas @wilmannaverosca
¿Sabés que el cálculo integral es como hacer ingeniería inversa con las derivadas? La integral indefinidaes tu... Mostrar más
La integral indefinida o antiderivada es básicamente el proceso opuesto a derivar. Si tenés una función f(x) y querés encontrar otra función F(x) cuya derivada sea f(x), entonces F(x) es la antiderivada de f(x).
La notación que vas a usar es ∫ f(x)dx = F(x) + C, donde C es la constante de integración. Esta constante aparece porque cuando derivás una constante, obtenés cero, así que siempre hay infinitas antiderivadas que difieren por una constante.
Un teorema importante dice que si dos funciones tienen la misma derivada, entonces difieren solo por una constante. Esto justifica por qué siempre agregamos esa C al final.
💡 Dato clave La integración es el proceso contrario a la derivación, pero no siempre es tan directo como derivar hacia atrás.
Antes de meterte en técnicas complicadas, necesitás dominar las fórmulas estándar. Son como tu caja de herramientas básica para resolver integrales.
Las más importantes incluyen ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/ + C , ∫ 1/x dx = ln|x| + C, y ∫ eˣ dx = eˣ + C. También tenés las trigonométricas como ∫ sen x dx = -cos x + C.
Las propiedades de linealidad te salvan la vida podés separar sumas y sacar constantes fuera de la integral. Por ejemplo, ∫ dx = 3∫ f(x)dx + 2∫ g(x)dx.
💡 Consejo Memorizá estas fórmulas básicas. Son la base para todo lo que viene después y las vas a usar constantemente.
La integración directa es cuando podés resolver una integral usando solo álgebra básica, propiedades de las integrales y las fórmulas estándar. Es tu primera opción siempre.
A veces necesitás hacer manipulaciones algebraicas primero. Por ejemplo, expandir binomios, simplificar fracciones o reescribir exponentes para que coincidan con las fórmulas que conocés.
El truco está en reconocer cuándo una integral se puede transformar en una forma estándar. Si tenés ∫ ³/(x∛x) dx, podés expandir el numerador y dividir cada término por el denominador para obtener integrales más simples.
💡 Estrategia Siempre intentá la integración directa primero. Si no funciona en los primeros minutos, pasá a técnicas más avanzadas.
La integración por sustitución es tu salvavidas cuando tenés funciones compuestas que no se pueden integrar directamente. Es como el método de la cadena pero al revés.
La idea es hacer un cambio de variable u = g(x), calcular du = g'(x)dx, y sustituir todo en la integral original. Esto transforma una integral complicada en una más simple.
Por ejemplo, para ∫ ³⁰ dx, usás u = 1-x, entonces du = -dx. La integral se convierte en ∫ u³⁰ = -u³¹/31 + C. Después reemplazás u por 1-x.
El arte está en elegir la sustitución correcta. Buscá la parte más complicada de la función (generalmente lo que está dentro de paréntesis, bajo radicales, o en exponentes) y probá hacer u igual a esa expresión.
💡 Tip práctico Si ves una función y su derivada juntas en la integral, la sustitución probablemente funcione perfectamente.
La integración por partes usa la fórmula ∫ u dv = uv - ∫ v du y es perfecta para integrar productos de funciones que no se pueden separar fácilmente.
La clave está en elegir bien qué función es u y cuál es dv. Una regla útil es el acrónimo LIATE Logarítmicas, Inversas trigonométricas, Algebraicas, Trigonométricas, Exponenciales. Elegí u siguiendo este orden de prioridad.
Para ∫ xe^x dx, hacés u = x (algebraica) y dv = e^x dx (exponencial). Entonces du = dx y v = e^x. Aplicando la fórmula xe^x - ∫ e^x dx = xe^x - e^x + C.
A veces necesitás aplicar integración por partes varias veces seguidas, especialmente cuando tenés polinomios de grado alto multiplicando funciones trigonométricas o exponenciales.
💡 Recordá Si tu segunda integral es más complicada que la original, probablemente elegiste mal las funciones u y dv.
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Una increíble aplicación, de verdad. Apareció en el momento en que necesitaba una app que me ayude a organizar mis estudios, al igual que para prepararme para los exámenes. Te da una increíble variedad de estudio que simplemente me encanta. Además de ser una gran ayuda para estudiantes de diferentes grados, como la universidad, lo que más me gusta de esta app es que está para diferentes países.
Bárbara
Chile
Me encantó. La app es superior, buena para los estudiantes. No solo te da las respuestas, sino que también te las explica de una manera asombrosa, lo que hace que entiendas súper rápido. La recomiendo mucho si se te hace difícil comprender las materias que te dejan.
Jennifer
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Muy buena aplicación, da información precisa de lo que se le pide. Es eficiente y, sobre todo, tiene varios intereses a escoger, como por ejemplo, temas sobre el ICFES, temas de bachillerato, entre otros. Excelente app.
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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Me costaba demasiado estudiar porque no entiendo cuando me pongo a estudiar, y en los exámenes me iba mal, hasta que me empezaron a aparecer anuncios y la descargué sin tenerle fe. Gracias a esta aplicación, algo que no entendía hace meses y semanas lo entendí. En esta aplicación mis notas mejoraron, y ya no me tengo que preocupar por estudiar.
Antonella
Argentina
¡Excelente! Amé la app. Me parece súper eficiente. Aparte de que enseña mucho, te ayuda en tus problemas personales y te hace resúmenes. Amo. Amé un montón la app. Sirve para cualquier año, desde sexto hasta quinto año. Aparte, hay resúmenes de otras personas. ¡Nonono, loquísimo! Te la recomiendo al 100%. Efectivamente, es un 10/10.
Usuario argentino
iOS.
Excelente experiencia. La aplicación es buenísima, la recomiendo mucho. Es mucho mejor que ChatGPT. Te manda la respuesta de tus búsquedas y, aparte, diapositivas para estudiar. Es magnífica.
Alo
México
¡ME ENCANTA! Todo es muy sencillo de utilizar y aprender. Mi IA es muy buena y los apuntes de los demás estudiantes son súper buenos; explica las cosas súper bien y detalladamente. La amo. Pruébenla.
Kitty
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¿Sabés que el cálculo integral es como hacer ingeniería inversa con las derivadas? La integral indefinida es tu herramienta para encontrar la función original cuando solo tenés su derivada, algo súper útil en física, ingeniería y muchas áreas más.
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La integral indefinida o antiderivada es básicamente el proceso opuesto a derivar. Si tenés una función f(x) y querés encontrar otra función F(x) cuya derivada sea f(x), entonces F(x) es la antiderivada de f(x).
La notación que vas a usar es: ∫ f(x)dx = F(x) + C, donde C es la constante de integración. Esta constante aparece porque cuando derivás una constante, obtenés cero, así que siempre hay infinitas antiderivadas que difieren por una constante.
Un teorema importante dice que si dos funciones tienen la misma derivada, entonces difieren solo por una constante. Esto justifica por qué siempre agregamos esa C al final.
💡 Dato clave: La integración es el proceso contrario a la derivación, pero no siempre es tan directo como derivar hacia atrás.
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Antes de meterte en técnicas complicadas, necesitás dominar las fórmulas estándar. Son como tu caja de herramientas básica para resolver integrales.
Las más importantes incluyen: ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/ + C , ∫ 1/x dx = ln|x| + C, y ∫ eˣ dx = eˣ + C. También tenés las trigonométricas como ∫ sen x dx = -cos x + C.
Las propiedades de linealidad te salvan la vida: podés separar sumas y sacar constantes fuera de la integral. Por ejemplo, ∫ dx = 3∫ f(x)dx + 2∫ g(x)dx.
💡 Consejo: Memorizá estas fórmulas básicas. Son la base para todo lo que viene después y las vas a usar constantemente.
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A veces necesitás hacer manipulaciones algebraicas primero. Por ejemplo, expandir binomios, simplificar fracciones o reescribir exponentes para que coincidan con las fórmulas que conocés.
El truco está en reconocer cuándo una integral se puede transformar en una forma estándar. Si tenés ∫ ³/(x∛x) dx, podés expandir el numerador y dividir cada término por el denominador para obtener integrales más simples.
💡 Estrategia: Siempre intentá la integración directa primero. Si no funciona en los primeros minutos, pasá a técnicas más avanzadas.
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La idea es hacer un cambio de variable u = g(x), calcular du = g'(x)dx, y sustituir todo en la integral original. Esto transforma una integral complicada en una más simple.
Por ejemplo, para ∫ ³⁰ dx, usás u = 1-x, entonces du = -dx. La integral se convierte en ∫ u³⁰ = -u³¹/31 + C. Después reemplazás u por 1-x.
El arte está en elegir la sustitución correcta. Buscá la parte más complicada de la función (generalmente lo que está dentro de paréntesis, bajo radicales, o en exponentes) y probá hacer u igual a esa expresión.
💡 Tip práctico: Si ves una función y su derivada juntas en la integral, la sustitución probablemente funcione perfectamente.
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Para ∫ xe^x dx, hacés u = x (algebraica) y dv = e^x dx (exponencial). Entonces du = dx y v = e^x. Aplicando la fórmula: xe^x - ∫ e^x dx = xe^x - e^x + C.
A veces necesitás aplicar integración por partes varias veces seguidas, especialmente cuando tenés polinomios de grado alto multiplicando funciones trigonométricas o exponenciales.
💡 Recordá: Si tu segunda integral es más complicada que la original, probablemente elegiste mal las funciones u y dv.
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Una increíble aplicación, de verdad. Apareció en el momento en que necesitaba una app que me ayude a organizar mis estudios, al igual que para prepararme para los exámenes. Te da una increíble variedad de estudio que simplemente me encanta. Además de ser una gran ayuda para estudiantes de diferentes grados, como la universidad, lo que más me gusta de esta app es que está para diferentes países.
Bárbara
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Jennifer
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Muy buena aplicación, da información precisa de lo que se le pide. Es eficiente y, sobre todo, tiene varios intereses a escoger, como por ejemplo, temas sobre el ICFES, temas de bachillerato, entre otros. Excelente app.
Lady
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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Me costaba demasiado estudiar porque no entiendo cuando me pongo a estudiar, y en los exámenes me iba mal, hasta que me empezaron a aparecer anuncios y la descargué sin tenerle fe. Gracias a esta aplicación, algo que no entendía hace meses y semanas lo entendí. En esta aplicación mis notas mejoraron, y ya no me tengo que preocupar por estudiar.
Antonella
Argentina
¡Excelente! Amé la app. Me parece súper eficiente. Aparte de que enseña mucho, te ayuda en tus problemas personales y te hace resúmenes. Amo. Amé un montón la app. Sirve para cualquier año, desde sexto hasta quinto año. Aparte, hay resúmenes de otras personas. ¡Nonono, loquísimo! Te la recomiendo al 100%. Efectivamente, es un 10/10.
Usuario argentino
iOS.
Excelente experiencia. La aplicación es buenísima, la recomiendo mucho. Es mucho mejor que ChatGPT. Te manda la respuesta de tus búsquedas y, aparte, diapositivas para estudiar. Es magnífica.
Alo
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¡ME ENCANTA! Todo es muy sencillo de utilizar y aprender. Mi IA es muy buena y los apuntes de los demás estudiantes son súper buenos; explica las cosas súper bien y detalladamente. La amo. Pruébenla.
Kitty
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