Portada del Material de SENCICO

Este material viene del SENCICO (Servicio Nacional de Capacitación para la Industria de la Construcción), una institución peruana que forma profesionales en construcción.

El curso está diseñado para estudiantes de Topografía y Geodesia, carreras súper importantes para medir terrenos y construir ciudades. ¡Imagínate que sin estos profesionales no existirían los mapas de Google Maps!

Introducción a las Funciones

Esta es la Sesión 7 del curso, enfocada completamente en funciones dentro de las expresiones algebraicas.

Las funciones son herramientas matemáticas fundamentales que necesitarás dominar tanto para tus exámenes como para aplicaciones reales en topografía y construcción. ¡No te preocupes, son más fáciles de lo que parecen!

¿Qué es una Función?

Una función F es básicamente un conjunto de parejas ordenadas donde cada primera componente (como tu DNI) solo puede estar conectada con una segunda componente.

Es como tu lista de contactos del celular: cada nombre solo puede tener un número principal asociado. Si tienes (Pedro; 987654321) y (Pedro; 123456789), ¡eso no sería una función válida!

En términos matemáticos: si (a; b) y (a; c) pertenecen a F, entonces b = c. Simple, ¿no?

Dominio y Rango: Los Ingredientes de las Funciones

El dominio es como la lista de invitados a una fiesta - son todos los valores de entrada $x$ que tu función acepta. Lo abreviamos como Dom$f$.

El rango son todos los resultados posibles que puedes obtener - como todos los platos que podrías servir en esa fiesta. Lo escribimos como Ran$f$.

Tip clave: El dominio siempre va primero (las x), el rango viene después (las y). ¡Como leer de izquierda a derecha!

Gráfica de una Función: El Test de la Línea Vertical

La gráfica de una función son todos los puntos (x,y) en el plano donde x está en el dominio e y es el resultado de aplicar la función.

Aquí viene el truco más genial: el test de la línea vertical. Si trazas una línea vertical en cualquier parte de tu gráfica y toca la curva más de una vez, ¡no es función!

Regla de oro: Una línea vertical = un solo punto de intersección = SÍ es función. Más de un punto = NO es función.

Representación Visual: Diagramas que Simplifican Todo

Con los conjuntos A = {1; 2; 3; 4; 5} y B = {2; 3; 4; 5; 6}, podemos representar la función F = {(2; 4); (1; 5); (3; 2); (4; 2)} de dos formas geniales.

El diagrama sagital es como un mapa de conexiones - dibujas flechas desde cada elemento del conjunto A hacia su pareja en B. Súper visual y fácil de entender.

El diagrama cartesiano es el clásico plano de coordenadas que ya conoces. Cada pareja ordenada se convierte en un punto que marcas en el plano.

Pro tip: El diagrama sagital es perfecto para verificar rápidamente si tienes una función válida.

Regla de Correspondencia: La Fórmula Mágica

La regla de correspondencia es la expresión matemática que conecta cada elemento del dominio con uno único del rango. Se escribe como y = F$x$.

Aquí x es tu variable independiente (la entrada que tú controlas) e y es tu variable dependiente (el resultado que obtienes).

Es como una receta de cocina: pones los ingredientes $x$, sigues la fórmula (F), y obtienes el plato final $y$. ¡Simple y directo!

Confirmando que es una Función: La Prueba Visual

Recordemos: una gráfica representa una función real cuando cada valor de x del dominio produce exactamente un valor de y.

La fórmula matemática es G = {(x; y) ∈ R² / y = f$x$; x ∈ Dom$f$}. Suena complicado, pero solo dice que tu gráfica incluye todos los puntos válidos.

Truco infalible: Usa siempre el test de la línea vertical. Si una línea vertical corta tu gráfica en más de un punto, definitivamente NO es función.

Ejemplos Visuales: Función vs No Función

¡Hora de la práctica visual! En los ejemplos mostrados, F$x$ SÍ es función porque cualquier línea vertical que traces tocará la curva en un solo punto.

Por el contrario, G$x$ NO es función porque hay líneas verticales que cortan la gráfica en múltiples puntos.

Esto significa que para un mismo valor de entrada $x$, G$x$ daría varios resultados diferentes. ¡Y eso rompe la regla fundamental de las funciones!

Función Identidad: Tu Primera Función Especial

La función identidad es la más simple pero súper importante: y = F$x$ = x.

Su dominio y rango son todos los números reales (Dom(F) = R y Ran(F) = R). Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen con un ángulo de 45°.

Es como un espejo matemático: lo que entra es exactamente lo que sale. Si pones 5, obtienes 5. Si pones -3, obtienes -3.

Dato curioso: Esta función es la base para entender todas las demás funciones lineales. ¡Domínala y tendrás una base sólida!