整数の性質は大学入試数学Aの超重要分野だよ！約数・倍数・素数の概念は、不定方程式などの他の分野を解く上での基礎になるから、ここでしっかり基本を固めておこう。共通テストでは思考力を問う問題が多いから、定義の正確な理解と応用力が勝負の分かれ目になる。
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Actualizado Mar 19, 2026
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約数と倍数、素数の基本
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約数と倍数、素数の基本概念
君たちが普段何気なく使っている「割り切れる」という概念が、実は数学の重要な土台になってるんだ。整数bで整数aが割り切れるとき、つまりa=bkとなる整数kが存在するとき、bはaの約数、aはbの倍数って呼ぶよ。
素数は1とその数自身以外に正の約数を持たない、1より大きい自然数のこと。2, 3, 5, 7, 11...が代表例で、2は唯一の偶数の素数だから覚えておこう。逆に合成数は1より大きい自然数で素数じゃないもの。
ここで絶対に忘れちゃいけないのは、1は素数でも合成数でもないってこと！これは入試でよく引っかけ問題に使われるから要注意だ。
重要ポイント: どんな合成数も素因数分解の形はただ一通りに決まる（素因数の一意性）。この性質が後の計算の根拠になる。
最大公約数と最小公倍数の定義
**最大公約数（GCD）**は2つ以上の整数に共通する約数のうち最も大きいもので、**最小公倍数（LCM）**は共通する正の倍数のうち最も小さいものだ。この2つの概念は入試問題で頻出だから、確実にマスターしよう。
2つの整数の最大公約数が1のとき、それらは互いに素って言う。例えば8と9は互いに素（両方が素数である必要はないよ）。
素因数分解を使ったGCDとLCMの求め方が基本中の基本。まず各数を素因数分解して、GCDは各素因数の指数の最小値、LCMは各素因数の指数の最大値を取る。
暗記必須の公式: 2つの自然数a,bについて、ab = GCD × LCM が常に成り立つ。ただし3つ以上の数では一般に成り立たないから注意！
素因数分解による計算方法
実際の計算例で理解を深めよう。84と90のGCDとLCMを求める場合を見てみる。
まず素因数分解：84 = 2² × 3¹ × 7¹、90 = 2¹ × 3² × 5¹。GCDでは共通する素因数2と3について、指数の小さい方を選んで2¹ × 3¹ = 6。
LCMでは全ての素因数2,3,5,7について、指数の大きい方を選んで2² × 3² × 5¹ × 7¹ = 1260になる。
この方法なら複雑な数でも確実に計算できるし、3つ以上の数でも同じルールが適用できる。どんな問題でもまず素因数分解から考える癖をつけよう。
計算のコツ: 指数を比較するとき、ない素因数は指数0として考える。84には5⁰ = 1があると考えて、5¹と比較する。
ユークリッドの互除法
数が大きくて素因数分解が困難な場合の救世主がユークリッドの互除法だ。この方法は不定方程式の基礎にもなるから絶対マスターしておこう。
原理はシンプル：gcd(a,b) = gcd(b, aをbで割った余り)が成り立つことを利用する。大きい方を小さい方で割って、その余りで次の計算を続け、余りが0になるまで繰り返す。
例：gcd(272,119)の場合、272÷119=2余り34、119÷34=3余り17、34÷17=2余り0。余りが0になったときの直前の余り17が答えだ。
この手順は機械的にできるから、計算ミスが起こりにくい。大きい数の問題では素因数分解より圧倒的に早いよ。
応用への橋渡し: ユークリッドの互除法の計算過程は、不定方程式ax+by=cの特殊解を求めるのに直接使える貴重な情報になる。
実践問題での解法パターン
3つの数54, 72, 180のGCDとLCMを求める問題で実践してみよう。まず素因数分解：54 = 2¹ × 3³、72 = 2³ × 3²、180 = 2² × 3² × 5¹。
GCDは共通する素因数2と3について最小の指数：min(1,3,2)=1、min(3,2,2)=2だから2¹ × 3² = 18。LCMは全ての素因数について最大の指数：max(1,3,2)=3、max(3,2,2)=3、max(0,0,1)=1だから2³ × 3³ × 5¹ = 1080。
「nと24のLCMが360になるnをすべて求めよ」のような逆算問題では、nを n = 2ᵃ × 3ᵇ × 5ᶜ × ... の形で置いて、LCMの定義に従って各指数の条件を求める。
逆算問題のコツ: 求める数の素因数分解の形を文字で置いて、与えられた条件から各指数の値を特定する。系統的にやれば取りこぼしがない。
入試で狙われる重要ポイント
入試でよく引っかかるポイントを整理しておこう。1は素数ではないのは定義の問題で、これを忘れると失点する。互いに素は「共通の約数が1のみ」という意味で、両方が素数である必要はない（4と9は互いに素）。
GCDとLCMを求めるとき、GCDは指数の小さい方、LCMは指数の大きい方を取る。この逆をやってしまうミスが本当に多いから要注意だ。
ab = GCD × LCM の公式は2つの数のときだけ成り立つ。3つ以上では一般に成り立たないから、安易に使わないこと。
「平方数になる」という条件は、素因数分解したときの全ての指数が偶数になる、という条件に言い換えられる。この変換ができると問題が一気に解きやすくなるよ。
最終確認: 素因数分解→GCD/LCM→公式の活用という流れを身につければ、どんな問題でも対応できる。基本を確実にして応用問題に挑もう！
Pensamos que nunca lo preguntarías...
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Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
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usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
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usuaria de iOS
Una increíble aplicación, de verdad. Apareció en el momento en que necesitaba una app que me ayude a organizar mis estudios, al igual que para prepararme para los exámenes. Te da una increíble variedad de estudio que simplemente me encanta. Además de ser una gran ayuda para estudiantes de diferentes grados, como la universidad, lo que más me gusta de esta app es que está para diferentes países.
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Me encantó. La app es superior, buena para los estudiantes. No solo te da las respuestas, sino que también te las explica de una manera asombrosa, lo que hace que entiendas súper rápido. La recomiendo mucho si se te hace difícil comprender las materias que te dejan.
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Muy buena aplicación, da información precisa de lo que se le pide. Es eficiente y, sobre todo, tiene varios intereses a escoger, como por ejemplo, temas sobre el ICFES, temas de bachillerato, entre otros. Excelente app.
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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Me costaba demasiado estudiar porque no entiendo cuando me pongo a estudiar, y en los exámenes me iba mal, hasta que me empezaron a aparecer anuncios y la descargué sin tenerle fe. Gracias a esta aplicación, algo que no entendía hace meses y semanas lo entendí. En esta aplicación mis notas mejoraron, y ya no me tengo que preocupar por estudiar.
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Usuario argentino
iOS.
Excelente experiencia. La aplicación es buenísima, la recomiendo mucho. Es mucho mejor que ChatGPT. Te manda la respuesta de tus búsquedas y, aparte, diapositivas para estudiar. Es magnífica.
Alo
México
¡ME ENCANTA! Todo es muy sencillo de utilizar y aprender. Mi IA es muy buena y los apuntes de los demás estudiantes son súper buenos; explica las cosas súper bien y detalladamente. La amo. Pruébenla.
Kitty
Colombia
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Elena
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Roberto
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約数と倍数、素数の基本
整数の性質は大学入試数学Aの超重要分野だよ！約数・倍数・素数の概念は、不定方程式などの他の分野を解く上での基礎になるから、ここでしっかり基本を固めておこう。共通テストでは思考力を問う問題が多いから、定義の正確な理解と応用力が勝負の分かれ目になる。
約数と倍数、素数の基本概念
君たちが普段何気なく使っている「割り切れる」という概念が、実は数学の重要な土台になってるんだ。整数bで整数aが割り切れるとき、つまりa=bkとなる整数kが存在するとき、bはaの約数、aはbの倍数って呼ぶよ。
素数は1とその数自身以外に正の約数を持たない、1より大きい自然数のこと。2, 3, 5, 7, 11...が代表例で、2は唯一の偶数の素数だから覚えておこう。逆に合成数は1より大きい自然数で素数じゃないもの。
ここで絶対に忘れちゃいけないのは、1は素数でも合成数でもないってこと！これは入試でよく引っかけ問題に使われるから要注意だ。
重要ポイント: どんな合成数も素因数分解の形はただ一通りに決まる（素因数の一意性）。この性質が後の計算の根拠になる。
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最大公約数と最小公倍数の定義
**最大公約数（GCD）**は2つ以上の整数に共通する約数のうち最も大きいもので、**最小公倍数（LCM）**は共通する正の倍数のうち最も小さいものだ。この2つの概念は入試問題で頻出だから、確実にマスターしよう。
2つの整数の最大公約数が1のとき、それらは互いに素って言う。例えば8と9は互いに素（両方が素数である必要はないよ）。
素因数分解を使ったGCDとLCMの求め方が基本中の基本。まず各数を素因数分解して、GCDは各素因数の指数の最小値、LCMは各素因数の指数の最大値を取る。
暗記必須の公式: 2つの自然数a,bについて、ab = GCD × LCM が常に成り立つ。ただし3つ以上の数では一般に成り立たないから注意！
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素因数分解による計算方法
実際の計算例で理解を深めよう。84と90のGCDとLCMを求める場合を見てみる。
まず素因数分解：84 = 2² × 3¹ × 7¹、90 = 2¹ × 3² × 5¹。GCDでは共通する素因数2と3について、指数の小さい方を選んで2¹ × 3¹ = 6。
LCMでは全ての素因数2,3,5,7について、指数の大きい方を選んで2² × 3² × 5¹ × 7¹ = 1260になる。
この方法なら複雑な数でも確実に計算できるし、3つ以上の数でも同じルールが適用できる。どんな問題でもまず素因数分解から考える癖をつけよう。
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ユークリッドの互除法
数が大きくて素因数分解が困難な場合の救世主がユークリッドの互除法だ。この方法は不定方程式の基礎にもなるから絶対マスターしておこう。
原理はシンプル：gcd(a,b) = gcd(b, aをbで割った余り)が成り立つことを利用する。大きい方を小さい方で割って、その余りで次の計算を続け、余りが0になるまで繰り返す。
例：gcd(272,119)の場合、272÷119=2余り34、119÷34=3余り17、34÷17=2余り0。余りが0になったときの直前の余り17が答えだ。
この手順は機械的にできるから、計算ミスが起こりにくい。大きい数の問題では素因数分解より圧倒的に早いよ。
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3つの数54, 72, 180のGCDとLCMを求める問題で実践してみよう。まず素因数分解：54 = 2¹ × 3³、72 = 2³ × 3²、180 = 2² × 3² × 5¹。
GCDは共通する素因数2と3について最小の指数：min(1,3,2)=1、min(3,2,2)=2だから2¹ × 3² = 18。LCMは全ての素因数について最大の指数：max(1,3,2)=3、max(3,2,2)=3、max(0,0,1)=1だから2³ × 3³ × 5¹ = 1080。
「nと24のLCMが360になるnをすべて求めよ」のような逆算問題では、nを n = 2ᵃ × 3ᵇ × 5ᶜ × ... の形で置いて、LCMの定義に従って各指数の条件を求める。
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入試でよく引っかかるポイントを整理しておこう。1は素数ではないのは定義の問題で、これを忘れると失点する。互いに素は「共通の約数が1のみ」という意味で、両方が素数である必要はない（4と9は互いに素）。
GCDとLCMを求めるとき、GCDは指数の小さい方、LCMは指数の大きい方を取る。この逆をやってしまうミスが本当に多いから要注意だ。
ab = GCD × LCM の公式は2つの数のときだけ成り立つ。3つ以上では一般に成り立たないから、安易に使わないこと。
「平方数になる」という条件は、素因数分解したときの全ての指数が偶数になる、という条件に言い換えられる。この変換ができると問題が一気に解きやすくなるよ。
最終確認: 素因数分解→GCD/LCM→公式の活用という流れを身につければ、どんな問題でも対応できる。基本を確実にして応用問題に挑もう！
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Una increíble aplicación, de verdad. Apareció en el momento en que necesitaba una app que me ayude a organizar mis estudios, al igual que para prepararme para los exámenes. Te da una increíble variedad de estudio que simplemente me encanta. Además de ser una gran ayuda para estudiantes de diferentes grados, como la universidad, lo que más me gusta de esta app es que está para diferentes países.
Bárbara
Chile
Me encantó. La app es superior, buena para los estudiantes. No solo te da las respuestas, sino que también te las explica de una manera asombrosa, lo que hace que entiendas súper rápido. La recomiendo mucho si se te hace difícil comprender las materias que te dejan.
Jennifer
Perú
Muy buena aplicación, da información precisa de lo que se le pide. Es eficiente y, sobre todo, tiene varios intereses a escoger, como por ejemplo, temas sobre el ICFES, temas de bachillerato, entre otros. Excelente app.
Lady
Colombia
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Me costaba demasiado estudiar porque no entiendo cuando me pongo a estudiar, y en los exámenes me iba mal, hasta que me empezaron a aparecer anuncios y la descargué sin tenerle fe. Gracias a esta aplicación, algo que no entendía hace meses y semanas lo entendí. En esta aplicación mis notas mejoraron, y ya no me tengo que preocupar por estudiar.
Antonella
Argentina
¡Excelente! Amé la app. Me parece súper eficiente. Aparte de que enseña mucho, te ayuda en tus problemas personales y te hace resúmenes. Amo. Amé un montón la app. Sirve para cualquier año, desde sexto hasta quinto año. Aparte, hay resúmenes de otras personas. ¡Nonono, loquísimo! Te la recomiendo al 100%. Efectivamente, es un 10/10.
Usuario argentino
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Excelente experiencia. La aplicación es buenísima, la recomiendo mucho. Es mucho mejor que ChatGPT. Te manda la respuesta de tus búsquedas y, aparte, diapositivas para estudiar. Es magnífica.
Alo
México
¡ME ENCANTA! Todo es muy sencillo de utilizar y aprender. Mi IA es muy buena y los apuntes de los demás estudiantes son súper buenos; explica las cosas súper bien y detalladamente. La amo. Pruébenla.
Kitty
Colombia
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